0,999 ...



Toate cunoștințele pe care oamenii le-au acumulat de-a lungul secolelor despre 0,999 ... sunt acum disponibile pe internet, iar noi le-am compilat și le-am aranjat pentru dumneavoastră în cel mai accesibil mod posibil. Dorim să puteți accesa rapid și eficient tot ceea ce doriți să știți despre 0,999 ..., ca experiența dumneavoastră să fie plăcută și să simțiți că ați găsit cu adevărat informațiile pe care le căutați despre 0,999 ....

Pentru a ne atinge scopurile ne-am străduit nu numai să obținem cele mai actualizate, ușor de înțeles și veridice informații despre 0,999 ..., dar am avut grijă ca designul, lizibilitatea, viteza de încărcare și ușurința de utilizare a paginii să fie cât mai plăcute, astfel încât să vă puteți concentra asupra esențialului, cunoscând toate datele și informațiile disponibile despre 0,999 ..., fără să vă faceți griji pentru nimic altceva, noi ne-am ocupat deja de asta pentru dumneavoastră. Sperăm că ne-am atins scopul și că ați găsit informațiile pe care le căutați despre 0,999 .... Așadar, vă urăm bun venit și vă încurajăm să vă bucurați în continuare de experiența de utilizare a scientiaro.com .

În matematic , 0.999 ... (de asemenea, scris ca 0. 9 , în notaie zecimal repetat ) denot zecimalul care se repet constând dintr-o secven nesfârit de 9s dup punctul zecimal . Aceast zecimal repetat reprezint cel mai mic numr, nu mai puin decât fiecare numr zecimal din secven (0,9, 0,99, 0,999, ...). Acest numr este egal cu 1. Cu alte cuvinte, 0,999 ... i 1 reprezint acelai numr. Exist multe modaliti de a arta aceast egalitate, de la argumente intuitive la dovezi riguroase matematic . Tehnica utilizat depinde de publicul int, de ipotezele de fundal, de contextul istoric i de dezvoltarea preferat a numerelor reale , sistemul în cadrul cruia este definit în mod obinuit 0.999. (În alte sisteme, 0.999 ... poate avea acelai sens, o definiie diferit sau poate fi nedefinit.)

Mai general, fiecare zecimal care termin zero are dou reprezentri egale (de exemplu, 8.32 i 8.31999 ...), care este o proprietate a tuturor reprezentrilor sistemului de numere poziionale, indiferent de baz . Preferina utilitar pentru reprezentarea zecimal care termin contribuie la concepia greit c este singura reprezentare. Din acest motiv i din alte motive - cum ar fi dovezi riguroase care se bazeaz pe tehnici, proprieti sau discipline non-elementare - unii oameni pot gsi egalitatea suficient de contraintuitiv pentru a o pune sub semnul întrebrii sau a o respinge. Acesta a fcut obiectul mai multor studii în educaia matematic .

Dovad elementar

Proprietatea arhimedean : orice punct x dinaintea liniei de sosire se afl între dou dintre puncte (inclusiv).

Exist o dovad elementar a ecuaiei 0,999 ... = 1 , care folosete doar instrumentele matematice de comparaie i adugare a numerelor zecimale (finite) , fr nicio referire la subiecte mai avansate precum serii , limite , construcia formal a numerelor reale , etc. Dovada, un exerciiu dat de Stillwell (1994 , p. 42), este o formalizare direct a faptului intuitiv c, dac se deseneaz 0,9, 0,99, 0,999 etc. pe linia numeric, nu mai este loc pentru plasarea unui numr între ele i 1. Înelesul notaiei 0,999 ... este cel mai mic punct de pe linia numeric aflat în dreapta tuturor numerelor 0,9, 0,99, 0,999 etc. Deoarece în final nu este loc între 1 i aceste numere, punctul 1 trebuie s fie cel mai mic punct i deci 0,999 ... = 1 .

Explicaie intuitiv

Dac unul plaseaz 0,9, 0,99, 0,999 etc. pe linia numeric , se vede imediat c toate aceste puncte sunt la stânga lui 1 i c se apropie din ce în ce mai mult de 1.

Mai precis, distana de la 0,9 la 1 este 0,1 = 1/10 , distana de la 0,99 la 1 este 0,01 = 1/10 2 i aa mai departe. Distana pân la 1 fa de punctul n (cel cu n 9s dup punctul zecimal) este 1/10 n .

Prin urmare, dac 1 nu ar fi cel mai mic numr mai mare de 0,9, 0,99, 0,999 etc., atunci ar exista un punct pe linia numeric care se afl între 1 i toate aceste puncte. Acest punct ar fi la o distan pozitiv de 1 care este mai mic de 1/10 n pentru fiecare numr întreg n . În sistemele numerice standard ( numerele raionale i numerele reale ), nu exist un numr pozitiv mai mic de 1/10 n pentru toate n . Aceasta este (o versiune) proprietatea arhimedean , care se poate dovedi c deine în sistemul numerelor raionale. Prin urmare, 1 este cel mai mic numr care este mai mare decât toi 0,9, 0,99, 0,999, etc, i deci 1 = 0,999 ... .

Discuie despre completitudine

O parte din ceea ce arat acest argument este c exist o limit minim superioar a secvenei 0,9, 0,99, 0,999 etc.: un numr mai mic care este mai mare decât toi termenii secvenei. Una dintre axiomele ale sistemului de numr real este axioma completitudinii , care prevede c fiecare secven mrginit are cel legat de sus. Aceast limit minim superioar este o modalitate de a defini expansiuni zecimale infinite: numrul real reprezentat de o zecimal infinit este cea mai mic limit superioar a trunchierilor sale finite. Argumentul de aici nu trebuie s presupun integralitatea pentru a fi valid, deoarece arat c aceast succesiune particular de numere raionale are de fapt o limit minim superioar i c aceast limit minim superioar este egal cu una.

Dovad riguroas

Explicaia anterioar nu este o dovad, deoarece nu se poate defini corect relaia dintre un numr i reprezentarea acestuia ca punct pe linia numeric. Pentru acurateea probei, numrul 0,999 ... 9 , cu n nou dup punctul zecimal, este notat 0. (9) n . Astfel 0. (9) 1 = 0.9 , 0. (9) 2 = 0.99 , 0. (9) 3 = 0.999 i aa mai departe. Ca 1/10 n = 0,0 ... 01 , cu n cifre dup punctul zecimal, regula de adunare pentru numerele zecimale implic

i

pentru fiecare numr întreg pozitiv n .

Trebuie s artm c 1 este cel mai mic numr care nu este mai mic decât toate 0. (9) n . Pentru aceasta, este suficient s se demonstreze c, dac un numr x nu este mai mare de 1 i nu mai puin de toate 0. (9) n , atunci x = 1 . Deci, las x astfel încât

pentru fiecare numr întreg pozitiv n . Prin urmare,

care, folosind aritmetica de baz i prima egalitate stabilit mai sus, simplific la

Aceasta implic faptul c diferena dintre 1 i x este mai mic decât inversul oricrui numr întreg pozitiv. Astfel aceast diferen trebuie s fie zero i, astfel, x = 1 ; acesta este

Aceast dovad se bazeaz pe faptul c zero este singurul numr nenegativ care este mai mic decât toate inversele numerelor întregi, sau echivalent c nu exist un numr mai mare decât fiecare numr întreg. Aceasta este proprietatea arhimedean , care este verificat pentru numere raionale i numere reale . Numerele reale pot fi mrite în sisteme numerice , cum ar fi numerele hiperreale , cu numere infinit de mici ( infinitesimale ) i numere infinit de mari ( numere infinite ). Atunci când se utilizeaz astfel de sisteme, notaia 0.999 ... nu este, în general, utilizat, deoarece nu exist nici un numr mai mic care s nu fie mai mic decât toate 0. (9) n . (Acest lucru este implicat de faptul c 0. (9) n x <1 implic 0. (9) n 1 2 x - 1 < x <1 ).

Argumente algebrice

Problema ilustraiilor prea simplificate a egalitii este un subiect de discuie pedagogic i critic. Byers (2007 , p. 39) discut argumentul c, în coala elementar, se înva c 1 3 = 0,333 ... , deci, ignorând toate subtilitile eseniale, multiplicând aceast identitate cu 3 d 1 = 0,999 .. . . El mai spune c acest argument nu este convingtor, din cauza unei ambiguiti nerezolvate asupra semnificaiei semnului egal ; un student s-ar putea gândi: Cu siguran nu înseamn c numrul 1 este identic cu cel care se înelege prin notaia 0.999 ... . Majoritatea studiilor universitare de matematic întâmpinate de Byers consider c, în timp ce 0.999 ... este foarte aproape de 1 pe baza acestui argument, unii spunând chiar c este infinit de aproape, nu sunt gata s spun c este egal la 1. Richman (1999) discut despre modul în care acest argument îi capt fora din faptul c majoritatea oamenilor au fost îndoctrinai s accepte prima ecuaie fr s se gândeasc, dar sugereaz, de asemenea, c argumentul îi poate determina pe sceptici s pun la îndoial aceast ipotez.

Byers prezint, de asemenea, urmtorul argument. Lsa

Studenii care nu au acceptat primul argument accept uneori al doilea argument, dar, în opinia lui Byers, înc nu au rezolvat ambiguitatea i, prin urmare, nu îneleg reprezentarea pentru zecimale infinite. Peressini i Peressini (2007) , prezentând acelai argument, afirm, de asemenea, c nu explic egalitatea, indicând c o astfel de explicaie ar implica probabil concepte de infinit i completitudine . Baldwin & Norton (2012) , citând Katz & Katz (2010a) , concluzioneaz, de asemenea, c tratamentul identitii bazat pe astfel de argumente, fr conceptul formal de limit, este prematur.

Acelai argument este dat i de Richman (1999) , care observ c scepticii pot pune la îndoial dac x este anulabil  - adic dac are sens s scdem x din ambele pri.

Dovezi analitice

Deoarece întrebarea de la 0.999 ... nu afecteaz dezvoltarea formal a matematicii, ea poate fi amânat pân când se dovedete teoremele standard ale analizei reale . O cerin este de a caracteriza numerele reale care pot fi scrise în notaie zecimal, constând dintr-un semn opional, o secven finit de una sau mai multe cifre care formeaz o parte întreag, un separator zecimal i o secven de cifre care formeaz o parte fracional. În scopul de a discuta 0.999 ..., partea întreag poate fi rezumat ca b 0 i se pot neglija negativele, deci o expansiune zecimal are forma

Fracia, spre deosebire de partea întreag, nu se limiteaz la multe cifre finit. Aceasta este o notaie poziional , deci, de exemplu, cifra 5 din 500 contribuie de zece ori mai mult decât 5 din 50, iar 5 din 0,05 contribuie cu o zecime mai mult decât 5 din 0,5.

Serii i secvene infinite

O dezvoltare comun a expansiunilor zecimale este de a le defini ca sume de serii infinite . În general:

Pentru 0.999 ... se poate aplica teorema convergenei privind seriile geometrice :

Dac atunci

Deoarece 0.999 ... este o astfel de sum cu a = 9 i raportul comun r = 1 10 , teorema face o scurt întrebare:

Aceast dovad apare înc din 1770 în Elementele de algebr ale lui Leonhard Euler .

Suma unei serii geometrice este ea însi un rezultat chiar mai vechi decât Euler. O derivare tipic din secolul al XVIII-lea a folosit o manipulare de la un termen la altul similar dovezii algebrice date mai sus i, pân în 1811, manualul lui Bonnycastle An Introduction to Algebra folosete un astfel de argument pentru serii geometrice pentru a justifica aceeai manevr la 0.999 .. O reacie din secolul al XIX-lea împotriva unor astfel de metode de însumare liberal a dus la definiia care domin i astzi: suma unei serii este definit ca fiind limita succesiunii sumelor sale pariale. O dovad corespunztoare a teoremei calculeaz în mod explicit acea secven; poate fi gsit în orice introducere bazat pe dovezi la calcul sau analiz.

O secven ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) are o limit x dac distana | x  -  x n | devine arbitrar mic pe msur ce n crete. Afirmaia c 0.999 ... = 1 poate fi interpretat i dovedit ca o limit:

Primele dou egaliti pot fi interpretate ca definiii ale stenogramelor simbolului. Egalitile rmase pot fi dovedite. Ultimul pas, respectiv 1 10 n 0 ca n , este adesea justificat de proprietatea arhimedean a numerelor reale. Aceast atitudine bazat pe limite fa de 0.999 ... este adesea pus în termeni mai evocatori, dar mai puin precii. De exemplu, manualul din 1846 The University Arithmetic explic: .999 +, a continuat pân la infinit = 1, deoarece fiecare anexare a unui 9 aduce valoarea mai aproape de 1; Aritmetica pentru coli din 1895 spune: când se ia un numr mare de 9, diferena dintre 1 i .99999 ... devine de neconceput mic. Astfel de euristici sunt deseori interpretate incorect de ctre studeni ca implicând faptul c 0.999 ... în sine este mai mic de 1.

Intervalele imbricate i cele mai mici limite superioare

Definiia seriei de mai sus este o modalitate simpl de a defini numrul real numit printr-o expansiune zecimal. O abordare complementar este adaptat procesului opus: pentru un numr real dat, definii expansiunea (zecimile) zecimale pentru a o denumi.

Dac se tie c un numr real x se afl în intervalul închis [0, 10] (adic este mai mare sau egal cu 0 i mai mic sau egal cu 10), ne putem imagina împrind acel interval în zece buci care se suprapun numai la punctele lor finale: [0, 1], [1, 2], [2, 3] i aa mai departe pân la [9, 10]. Numrul x trebuie s aparin unuia dintre acestea; dac aparine lui [2, 3], atunci se înregistreaz cifra "2" i se împarte acel interval în [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Continuarea acestui proces produce o secven infinit de intervale imbricate , etichetate printr-o secven infinit de cifre b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , ... i se scrie

În acest formalism, identitile 1 = 0.999 ... i 1 = 1.000 ... reflect, respectiv, faptul c 1 se afl atât în [0, 1], cât i în [1, 2], deci se poate alege fie subintervalul când se gsete cifrele sale. Pentru a ne asigura c aceast notaie nu abuzeaz de semnul "=", este nevoie de o modalitate de a reconstrui un numr real unic pentru fiecare zecimal. Acest lucru se poate face cu limite, dar alte construcii continu cu tema ordonrii.

O alegere simpl este teorema intervalelor imbricate , care garanteaz c, având în vedere o succesiune de intervale închise, imbricate ale cror lungimi devin arbitrar mici, intervalele conin exact un numr real în intersecia lor . Deci b 0 . b 1 b 2 b 3 ... este definit ca fiind numrul unic coninut în toate intervalele [ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 . b 1 , b 0 . b 1 + 0,1] i aa mai departe. 0.999 ... este atunci numrul real unic care se afl în toate intervalele [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1] i [0.99 ... 9, 1] pentru fiecare ir finit de 9s. Deoarece 1 este un element al fiecruia dintre aceste intervale, 0,999 ... = 1.

Teorema cu intervale imbricate se bazeaz de obicei pe o caracteristic mai fundamental a numerelor reale: existena celor mai mici limite superioare sau supreme . Pentru a exploata direct aceste obiecte, se poate defini b 0 . b 1 b 2 b 3 ... s fie cea mai mic limit superioar a setului de aproximani { b 0 , b 0 . b 1 , b 0 . b 1 b 2 , ...}. Se poate arta apoi c aceast definiie (sau definiia intervalelor imbricate) este în concordan cu procedura de subdiviziune, implicând din nou 0,999 ... = 1. Tom Apostol conchide,

Faptul c un numr real ar putea avea dou reprezentri zecimale diferite este doar o reflectare a faptului c dou seturi diferite de numere reale pot avea acelai suprem.

Dovezi din construcia numerelor reale

Unele abordri definesc în mod explicit numerele reale pentru a fi anumite structuri construite pe numerele raionale , folosind teoria axiomatic a mulimilor . Cele Numerele naturale  - 0, 1, 2, 3, i aa mai departe - începe cu 0 i s continue în sus, astfel încât fiecare numr are un succesor. Se pot extinde numerele naturale cu negativele lor pentru a da toate numerele întregi i pentru a extinde în continuare la rapoarte, dând numerele raionale . Aceste sisteme numerice sunt însoite de aritmetica adunrii, scderii, multiplicrii i divizrii. Mai subtil, acestea includ ordonarea , astfel încât un numr s poat fi comparat cu altul i s se gseasc mai mic decât, mai mare sau egal cu un alt numr.

Pasul de la raionale la reale este o extensie major. Exist cel puin dou moduri populare de a realiza acest pas, ambele publicate în 1872: tieturile Dedekind i secvenele Cauchy . Dovezile c 0,999 ... = 1 care utilizeaz direct aceste construcii nu se gsesc în manualele de analiz real, unde tendina modern din ultimele decenii a fost aceea de a utiliza o analiz axiomatic. Chiar i atunci când este oferit o construcie, aceasta este de obicei aplicat pentru a demonstra axiomele numerelor reale, care apoi susin dovezile de mai sus. Cu toate acestea, mai muli autori îi exprim ideea c pornirea cu o construcie este mai adecvat din punct de vedere logic, iar dovezile rezultate sunt mai independente.

Tieturi Dedekind

În abordarea tiat Dedekind , fiecare numr real x este definit ca mulimea infinit a tuturor numerelor raionale mai mici decât x . În special, numrul real 1 este ansamblul tuturor numerelor raionale care sunt mai mici de 1. Fiecare expansiune zecimal pozitiv determin cu uurin o reducere Dedekind: ansamblul numerelor raionale care sunt mai mici decât o anumit etap a expansiunii. Deci numrul real 0.999 ... este mulimea numerelor raionale r astfel încât r <0, sau r <0.9, sau r <0.99, sau r este mai mic decât un alt numr al formei

Fiecare element de 0,999 ... este mai mic de 1, deci este un element al numrului real 1. În schimb, toate elementele lui 1 sunt numere raionale care pot fi scrise ca

cu b > 0 i b > a . Asta implic

i, astfel

i de atunci

prin definiia de mai sus, fiecare element de 1 este, de asemenea, un element de 0,999 ... i, combinat cu dovada de mai sus c fiecare element de 0,999 ... este, de asemenea, un element de 1, seturile 0,999 ... i 1 conin aceleai numere raionale i, prin urmare, sunt acelai set, adic 0,999 ... = 1.

Definiia numerelor reale ca tieturi Dedekind a fost publicat pentru prima dat de Richard Dedekind în 1872. Abordarea de mai sus pentru a atribui un numr real fiecrei expansiuni zecimale se datoreaz unei lucrri expozitive intitulat Is 0.999 ... = 1 de Fred Richman în revista Mathematics , care se adreseaz profesorilor de matematic colegial, în special la nivel junior / senior i studenilor acestora. Richman observ c luarea tieturilor Dedekind în orice subgrup dens al numerelor raionale produce aceleai rezultate; în special, el folosete fracii zecimale , pentru care dovada este mai imediat. El observ, de asemenea, c definiiile permit în mod obinuit ca {x: x <1} s fie tiat, dar nu i {x: x 1} (sau invers) De ce face asta Tocmai pentru a exclude existena numerelor distincte 0.9 * i 1. [...] Deci, vedem c în definiia tradiional a numerelor reale, ecuaia 0.9 * = 1 este încorporat la început. " O alt modificare a procedurii duce la o structur diferit în care cele dou nu sunt egale. Dei este consecvent, multe dintre regulile comune ale aritmeticii zecimale nu mai sunt valabile, de exemplu fracia 1 3 nu are reprezentare; a se vedea Sisteme de numere alternative de mai jos.

Secvene cauchy

O alt abordare este de a defini un numr real ca limita unei secvene Cauchy de numere raionale . Aceast construcie a numerelor reale folosete ordonarea raionalelor mai puin direct. În primul rând, distana dintre x i y este definit ca valoarea absolut | x  -  y |, unde valoarea absolut | z | este definit ca maximul lui z i - z , deci niciodat negativ. Atunci realele sunt definite ca fiind secvenele raionalelor care au proprietatea secvenei Cauchy folosind aceast distan. Adic, în secvena ( x 0 , x 1 , x 2 , ...), o mapare de la numere naturale la raionale, pentru orice raional pozitiv exist un N astfel încât | x m  -  x n |   desaturazei A pentru toate m , n  >  N . (Distana dintre termeni devine mai mic decât orice raional pozitiv.)

Dac ( x n ) i ( y n ) sunt dou secvene Cauchy, atunci ele sunt definite ca fiind egale ca numere reale dac secvena ( x n  -  y n ) are limita 0. Truncaiile numrului zecimal b 0 . b 1 b 2 b 3 ... genereaz o succesiune de raionale care este Cauchy; aceasta este luat pentru a defini valoarea real a numrului. Astfel, în acest formalism sarcina este de a arta c succesiunea numerelor raionale

are limita 0. Având în vedere al n- lea termen al secvenei, pentru n , trebuie artat deci c

Aceast limit este simpl dac se înelege definiia limitei . Deci din nou 0,999 ... = 1.

Definiia numerelor reale ca secvene Cauchy a fost publicat pentru prima dat separat de Eduard Heine i Georg Cantor , tot în 1872. Abordarea de mai sus a expansiunilor zecimale, inclusiv dovada c 0,999 ... = 1, urmrete îndeaproape lucrarea lui Griffiths & Hilton din 1970 A comprehensive manual de matematic clasic: O interpretare contemporan . Cartea este scris special pentru a oferi o a doua privire asupra conceptelor familiare într-o lumin contemporan.

Reprezentare zecimal infinit

În mod obinuit în educaia matematic a colilor secundare , numerele reale sunt construite prin definirea unui numr folosind un numr întreg urmat de un punct radix i o secven infinit scris ca un ir pentru a reprezenta partea fracional a oricrui numr real dat. În aceast construcie, setul oricrei combinaii a unui numr întreg i a cifrelor dup punctul zecimal (sau punctul radix în sistemele care nu sunt de baz 10) este setul de numere reale. Aceast construcie poate fi demonstrat în mod riguros pentru a satisface toate axiomele reale dup definirea unei relaii de echivalen peste setul care definete 1 = echiv . versiunea 9s final. Cu aceast construcie a realilor, toate dovezile afirmaiei "1 = 0,999 ..." pot fi privite ca presupunând implicit egalitatea atunci când se efectueaz operaii asupra numerelor reale.

Ordine dens

Una dintre noiunile care pot rezolva problema este cerina ca numerele reale s fie ordonate dens. Studenii iau de la sine îneles c este înainte, în timp ce acest tip de ordonare intuitiv este mai bine definit ca pur lexicografic.

... ordonarea numerelor reale este recunoscut ca o ordine dens. Cu toate acestea, în funcie de context, studenii pot reconcilia aceast proprietate cu existena numerelor chiar înainte sau dup un numr dat (0,999 ... se vede astfel deseori ca predecesorul lui 1). "

Ordinea dens necesit c exist o a treia valoare real strict între i , dar nu exist: nu putem schimba o singur cifr în niciuna dintre cele dou pentru a obine un astfel de numr. Dac i sunt pentru a reprezenta numere reale, acestea trebuie s fie egale. Ordonarea dens implic faptul c, dac nu exist un element nou strict între dou elemente ale setului, cele dou elemente trebuie considerate egale.

Generalizri

Rezultatul c 0.999 ... = 1 se generalizeaz uor în dou moduri. În primul rând, fiecare numr diferit de zero cu notaie zecimal finit (în mod echivalent, 0 fr sfârit) are un omolog cu 9s. De exemplu, 0.24999 ... este egal cu 0.25, exact ca în cazul special considerat. Aceste numere sunt exact fraciile zecimale i sunt dense .

În al doilea rând, se aplic o teorem comparabil în fiecare raz sau baz . De exemplu, în baza 2 ( sistemul de numere binare ) 0,111 ... este egal cu 1, iar în baza 3 ( sistemul de numere ternare ) 0,222 ... este egal cu 1. În general, orice expresie de baz b terminal are un omolog cu retragere repetat cifre egale cu b - 1. Manualele de analiz real sunt susceptibile s omit exemplul 0.999 ... i s prezinte una sau ambele generalizri de la început.

Reprezentri alternative ale lui 1 apar i în baze care nu sunt întregi. De exemplu, în baza raportului auriu , cele dou reprezentri standard sunt 1.000 ... i 0.101010 ... i exist infinit mai multe reprezentri care includ 1 adiacente. În general, pentru aproape toate q între 1 i 2, exist numeroase expansiuni de baz- q de 1. Pe de alt parte, exist înc multe nenumrate q (inclusiv toate numerele naturale mai mari de 1) pentru care exist o singur baz- q extinderea 1, altele decât trivial 1.000 .... Acest rezultat a fost obinut mai întâi de ctre Paul Erds , Miklos Horváth István Joó în jurul 1990. În 1998 Vilmos Komornik i Paola Loreti determinat cel mai mic astfel de baza, constanta Komornik-Loreti q = 1.787231650 .... În aceast baz, 1 = 0.11010011001011010010110011010011 ...; cifrele sunt date de secvena Thue Morse , care nu se repet.

O generalizare mai ampl se adreseaz celor mai generale sisteme numerice poziionale . i ei au reprezentri multiple i, într-un anumit sens, dificultile sunt i mai grave. De exemplu:

Imposibilitatea reprezentrii unice

Faptul c toate aceste sisteme numerice diferite sufer de reprezentri multiple pentru unele numere reale poate fi atribuit unei diferene fundamentale între numerele reale ca un set ordonat i colecii de iruri infinite de simboluri, ordonate lexicografic . Într-adevr, urmtoarele dou proprieti explic dificultatea:

  • Dac un interval al numerelor reale este partiionat în dou pri ne-goale L , R , astfel încât fiecare element al lui L este (strict) mai mic decât fiecare element al lui R , atunci fie L conine un element cel mai mare, fie R conine un element mai mic, dar nu amândou.
  • Colecia de iruri infinite de simboluri luate din orice alfabet finit, ordonat lexicografic, poate fi partiionat în dou pri ne-goale L , R , astfel încât fiecare element al lui L este mai mic decât fiecare element al lui R , în timp ce L conine cel mai mare elementul i R conine cel mai mic element. Într-adevr, este suficient s luai dou prefixe finite (iruri iniiale) p 1 , p 2 ale elementelor din colecie astfel încât s difere doar în simbolul lor final, pentru care simbol au valori succesive i s ia pentru L setul tuturor irurilor în colecia al crei prefix corespunztor este cel mult p 1 , iar pentru R restul, irurile din colecia al cror prefix corespunztor este cel puin p 2 . Atunci L are cel mai mare element, începând cu p 1 i alegând cel mai mare simbol disponibil în toate poziiile urmtoare, în timp ce R are cel mai mic element obinut urmând p 2 cu cel mai mic simbol din toate poziiile.

Primul punct rezult din proprietile de baz ale numerelor reale: L are un suprem i R are un minim , care se vede uor ca fiind egale; fiind un numr real, fie se afl în R, fie în L , dar nu atât, deoarece L i R ar trebui s fie disjuncte . Al doilea punct generalizeaz perechea 0.999 ... / 1.000 ... obinut pentru p 1  = "0", p 2  = "1". De fapt, nu trebuie s utilizai acelai alfabet pentru toate poziiile (astfel încât, de exemplu , s poat fi incluse sisteme mixte de radix ) sau s luai în considerare colecia complet de iruri posibile; singurele puncte importante sunt c, la fiecare poziie, poate fi ales un set finit de simboluri (care poate depinde chiar de simbolurile anterioare) (este necesar pentru a asigura alegeri maxime i minime) i c alegerea valabil pentru orice poziie ar trebui s fie rezult un ir infinit valid (deci nu ar trebui s permitei 9 în fiecare poziie în timp ce interzicei o succesiune infinit de 9 s). Sub aceste ipoteze, argumentul de mai sus arat c o ordine care pstreaz harta din colecia de iruri pân la un interval al numerelor reale nu poate fi o bijecie : fie unele numere nu corespund niciunui ir, sau unele dintre ele corespund mai multor un ir .

Marko Petkovek a dovedit c pentru orice sistem poziional care numete toate numerele reale, setul de reali cu reprezentri multiple este întotdeauna dens. El numete dovada un exerciiu instructiv în topologia elementar a setului de puncte ; implic vizualizarea seturilor de valori poziionale ca spaii Stone i observarea c reprezentrile lor reale sunt date de funcii continue .

Aplicaii

O aplicaie de 0.999 ... ca reprezentare a 1 apare în teoria elementar a numerelor . În 1802, H. Goodwin a publicat o observaie privind apariia lui 9 în reprezentrile repetitive-zecimale ale fraciilor ale cror numitori sunt anumite numere prime . Exemplele includ:

  • 1 7 = 0. 142857 i 142 + 857 = 999.
  • 1 73 = 0. 01369863 i 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy a dovedit un rezultat general despre astfel de fraciuni, numit acum teorema lui Midy , în 1836. Publicaia a fost obscur i nu este clar dac dovada sa a implicat în mod direct 0.999 ..., dar cel puin o dovad modern de WG Leavitt o face. Dac se poate demonstra c dac o zecimal de forma 0. b 1 b 2 b 3 ... este un numr întreg pozitiv, atunci trebuie s fie 0.999 ..., care este atunci sursa celor 9 din teorem. Investigaiile în aceast direcie poate motiva astfel de concepte ca cele mai mari divizori comuni , aritmetica modulara , amorse Fermat , ordinea de grup elemente i reciprocitate ptratic .

Revenind la analiza real, baza-3 analogic 0,222 ... = 1 joac un rol cheie în caracterizarea unuia dintre cei mai simpli fractali , setul Cantor al treimilor mijlocii :

  • Un punct din intervalul unitar se afl în setul Cantor dac i numai dac poate fi reprezentat în ternar folosind doar cifrele 0 i 2.

N - lea cifre al reprezentrii reflect poziia punct din n - lea stadiu al construciei. De exemplu, punctului 2 3 i se ofer reprezentarea obinuit de 0,2 sau 0,2000 ..., deoarece se afl la dreapta primei tergeri i la stânga fiecrei tergeri ulterioare. Punctul 1 3 este reprezentat nu ca 0,1, ci ca 0,0222 ..., deoarece se afl la stânga primei tergeri i la dreapta fiecrei tergeri ulterioare.

Nou repetare apare i în înc o lucrare a lui Georg Cantor. Acestea trebuie luate în considerare pentru a construi o dovad valid, aplicând argumentul su diagonal din 1891 la expansiunile zecimale, a incontabilitii intervalului unitar. O astfel de dovad trebuie s fie capabil s declare anumite perechi de numere reale ca fiind diferite în funcie de expansiunile lor zecimale, deci trebuie evitate perechile precum 0,2 i 0,1999 ... O metod simpl reprezint toate numerele cu expansiuni nonterminatoare; metoda opus exclude repetarea nou. O variant care poate fi mai apropiat de argumentul original al lui Cantor folosete de fapt baza 2 i, transformând expansiunile bazei 3 în expansiunile bazei 2, se poate dovedi i nenumrarea setului Cantor.

Scepticismul în educaie

Studenii la matematic resping adesea egalitatea de 0,999 ... i 1, din motive care variaz de la aspectul lor disparat la îndoieli adânci asupra conceptului de limit i dezacorduri cu privire la natura infinitesimalelor . Exist muli factori care contribuie la confuzie:

  • Elevii sunt adesea angajai mental la noiunea c un numr poate fi reprezentat într-un singur mod printr-o zecimal. Vederea a dou zecimale vdit diferite care reprezint acelai numr pare a fi un paradox , care este amplificat de apariia numrului 1 aparent bine îneles.
  • Unii studeni interpreteaz 0.999 ... (sau notaie similar) ca un ir mare, dar finit de 9, posibil cu o lungime variabil, nespecificat. Dac accept un ir infinit de nou, s-ar putea s atepte înc un ultim 9 "la infinit".
  • Intuitia i predarea ambigu îi determin pe studeni s se gândeasc la limita unei secvene mai degrab ca la un fel de proces infinit decât la o valoare fix, întrucât o secven nu trebuie s-i ating limita. În cazul în care elevii accept diferena dintre o secven de numere i limita acesteia, ar putea citi 0.999 ... ca semnificaie a secvenei, mai degrab decât limita acesteia.

Aceste idei sunt greite în contextul numerelor reale standard, dei unele pot fi valabile în alte sisteme numerice, fie inventate pentru utilitatea lor matematic general, fie ca contraexemple instructive pentru a înelege mai bine 0.999 ...

Multe dintre aceste explicaii au fost gsite de David Tall , care a studiat caracteristicile predrii i cunoaterii care duc la unele dintre neînelegerile pe care le-a întâlnit la studenii si. Intervievându-i pe elevii si pentru a determina de ce marea majoritate a respins iniial egalitatea, el a constatat c studenii au continuat s concep 0,999 ... ca o secven de numere care se apropie din ce în ce mai mult de 1 i nu o valoare fix, pentru c nu ai a specificat câte locuri exist 'sau' este cea mai apropiat zecimal posibil sub 1 ' ".

Argumentul elementar al înmulirii 0.333 ... = 1 3 cu 3 poate convinge elevii reticeni c 0.999 ... = 1. Totui, când se confrunt cu conflictul dintre credina lor despre prima ecuaie i necredina lor despre a doua, unii elevi fie începe s nu cread prima ecuaie, fie pur i simplu devine frustrat. Nici metodele mai sofisticate nu sunt infailibile: studenii care sunt pe deplin capabili s aplice definiii riguroase pot s cad în continuare pe imaginile intuitive atunci când sunt surprini de un rezultat în matematic avansat, inclusiv 0,999 ... De exemplu, un student real de analiz a reuit s dovedii c 0,333 ... = 1 3 folosind o definiie suprem , dar apoi a insistat c 0,999 ... <1 pe baza înelegerii sale anterioare a divizrii lungi. Alii sunt înc capabili s demonstreze c 1 3 = 0,333 ..., dar, când sunt confruntai cu dovada fracionar , insist c logica înlocuiete calculele matematice.

Joseph Mazur spune povestea unui student de calcul altfel strlucit al su care a provocat aproape tot ce am spus în clas, dar nu i-am pus la îndoial calculatorul i care a ajuns s cread c nou cifre sunt toate de care trebuie s faci matematic, inclusiv calcularea ptratului rdcina lui 23. Elevul a rmas incomod cu un argument limitativ care spune c 9,99 ... = 10, numindu-l un proces de cretere infinit imaginat slbatic.

Ca parte a teoriei APOS a învrii matematice a lui Ed Dubinsky , el i colaboratorii si (2005) propun c studenii care concep 0,999 ... ca un ir finit, nedeterminat, cu o distan infinit de mic de la 1, nu au construit înc o concepie complet a procesului. a zecimalului infinit ". Ali studeni care au o concepie complet a procesului de 0.999 ... s-ar putea s nu fie înc capabili s încapsuleze acel proces într-o concepie de obiect, cum ar fi concepia de obiect pe care o au despre 1, i astfel vd procesul 0.999 ... iar obiectul 1 ca incompatibil. Dubinsky i colab. legai, de asemenea, aceast capacitate mental a încapsulrii de a vedea 1 3 ca numr în sine i de a trata ansamblul numerelor naturale în ansamblu.

Fenomen cultural

Odat cu creterea internetului , dezbaterile despre 0.999 ... au devenit obinuite pe grupurile de tiri i pe panourile de mesaje , inclusiv pe multe care nominal au puin de-a face cu matematica. În grupul de tiri sci.math , argumentarea peste 0,999 ... este descris ca un sport popular i este una dintre întrebrile la care a fost rspuns în întrebrile frecvente . Întrebri frecvente scurt acoper 1 / cu 3 , înmulirea cu 10, i limitele, i face aluzie la secvene Cauchy, de asemenea.

O ediie din 2003 a rubricii de ziar de interes general The Straight Dope discut 0,999 ... prin 1 3 i limiteaz, spunând despre concepii greite,

Primatul inferior din noi înc rezist, spunând: .999 ~ nu reprezint cu adevrat un numr , deci un proces . Pentru a gsi un numr, trebuie s oprim procesul, moment în care .999 ~ = 1 se destram. Prostii.

Un articol din Slate raporteaz c conceptul de 0.999 ... este fierbinte disputat pe site-uri web, de la panourile de mesaje World of Warcraft la forumurile Ayn Rand . În acelai sens, întrebarea de la 0.999 ... s-a dovedit un subiect atât de popular în primii apte ani ai forumurilor Battle.net de la Blizzard Entertainment , încât compania a emis un comunicat de pres în April Fools Day 2004 c este 1 :

Suntem foarte încântai s închidem o dat pentru totdeauna cartea despre acest subiect. Am fost martori de durere i îngrijorare cu privire la dac .999 ~ este sau nu egal cu 1 i suntem mândri c urmtoarea dovad abordeaz în cele din urm i în mod concludent problema pentru clienii notri.

Apoi sunt oferite dou dovezi, bazate pe limite i înmulirea cu 10.

0.999 ... apare i în glumele matematice , cum ar fi:

Î: Câi matematicieni este nevoie pentru a înuruba un bec

A: 0.999999 ....

În sistemele de numere alternative

Dei numerele reale formeaz un sistem numeric extrem de util , decizia de a interpreta notaia 0.999 ... ca numirea unui numr real este în cele din urm o convenie, iar Timothy Gowers susine în Matematic: o introducere foarte scurt c identitatea rezultat este 0.999. .. = 1 este i o convenie:

Cu toate acestea, nu este nicidecum o convenie arbitrar, deoarece neadoptarea ei oblig fie s inventeze obiecte noi ciudate, fie s abandoneze unele dintre regulile familiare ale aritmeticii.

Se pot defini alte sisteme numerice folosind reguli diferite sau obiecte noi; în unele astfel de sisteme numerice, dovezile de mai sus ar trebui reinterpretate i s-ar putea constata c, într-un sistem numeric dat, 0,999 ... i 1 s-ar putea s nu fie identice. Cu toate acestea, multe sisteme de numere sunt extensii ale sistemului de numere reale (mai degrab decât alternative independente la acesta), deci 0,999 ... = 1 continu s se menin. Chiar i în astfel de sisteme numerice, totui, merit s examinm sisteme de numere alternative, nu numai pentru modul în care se comport 0,999 (dac, într-adevr, un numr exprimat ca 0,999 ... este atât semnificativ, cât i lipsit de ambiguitate), pentru comportamentul fenomenelor conexe. Dac astfel de fenomene difer de cele din sistemul numerelor reale, atunci cel puin una dintre ipotezele integrate în sistem trebuie s se descompun.

Infinitezimale

Câteva dovezi c 0.999 ... = 1 se bazeaz pe proprietatea arhimedean a numerelor reale: c nu exist infinitesimale diferite de zero . Mai exact, diferena 1 - 0,999 ... trebuie s fie mai mic decât orice numr raional pozitiv, deci trebuie s fie infinitesimal; dar întrucât realele nu conin infinitesimale diferite de zero, diferena este deci zero i, prin urmare, cele dou valori sunt aceleai.

Cu toate acestea, exist structuri algebrice ordonate matematic coerente , incluzând diverse alternative la numerele reale, care sunt non-arhimedice. Analiza non-standard ofer un sistem numeric cu o gam complet de infinitesimale (i inversele lor). AH Lightstone a dezvoltat o expansiune zecimal pentru numerele hiperreale în (0, 1) . Lightstone arat cum s asociai fiecrui numr o succesiune de cifre,

indexat de numerele hipernaturale . Dei nu discut în mod direct 0.999 ..., el arat c numrul real 1 3 este reprezentat de 0.333 ...; ... 333 ... ceea ce este o consecin a principiului transferului . În consecin, numrul 0,999 ...; ... 999 ... = 1. Cu acest tip de reprezentare zecimal, nu fiecare expansiune reprezint un numr. În special 0,333 ...; ... 000 ... i 0,999 ...; ... 000 ... nu corespund niciunui numr.

Definiia standard a numrului 0,999 ... este limita secvenei 0,9, 0,99, 0,999, ... O definiie diferit implic ceea ce Terry Tao se refer la ultralimit , adic clasa de echivalen [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] a acestei secvene în construcia ultraputer , care este un numr care este mai mic de 1 cu o cantitate infinitesimal. Mai general, numrul hiperreal u H = 0,999 ...; ... 999000 ..., cu ultima cifr 9 la rang hipernatural infinit H , satisface o inegalitate strict u H <1. În consecin, a urmat o interpretare alternativ pentru zero de infinit multe 9 "ar putea fi

Toate aceste interpretri ale 0.999 ... sunt infinit de apropiate de 1. Ian Stewart caracterizeaz aceast interpretare ca o modalitate pe deplin rezonabil de a justifica riguros intuiia c lipsete puin de la 1 în 0.999 .... De-a lungul împreun cu Katz & Katz, Robert Ely pune la îndoial i presupunerea c ideile elevilor despre 0.999 ... <1 sunt intuiii eronate despre numerele reale, interpretându-le mai degrab ca intuiii nestandard care ar putea fi valoroase în învarea calculului. Jose Benardete în cartea sa Infinity: Un eseu de metafizic susine c unele intuiii naturale pre-matematice nu pot fi exprimate dac unul este limitat la un sistem numeric excesiv de restrictiv:

S-a constatat c inteligibilitatea continuumului - de multe ori - necesit extinderea domeniului numerelor reale pentru a include infinitesimale. Acest domeniu extins poate fi numit domeniul numerelor continue. Acum va fi evident c .9999 ... nu este egal cu 1, dar este infinit de scurt. Cred c .9999 ... ar trebui într-adevr admis ca numr ... dei nu ca numr real .

Hackenbush

Teoria jocului combinatoriu ofer i realuri alternative, cu Hackenbush infinit albastru-rou ca un exemplu deosebit de relevant. În 1974, Elwyn Berlekamp a descris o coresponden între irurile Hackenbush i expansiunile binare ale numerelor reale, motivate de ideea de comprimare a datelor . De exemplu, valoarea irului Hackenbush LRRLRLRL ... este 0,010101 2 ... =  1 3 . Cu toate acestea, valoarea lui LRLLL ... (corespunztoare la 0,111 ... 2 ) este infinit mai mic decât 1. Diferena dintre cele dou este numrul suprarealist 1 , unde este primul ordinal infinit ; jocul relevant este LRRRR ... sau 0.000 ... 2 .

Acest lucru este de fapt adevrat pentru expansiunile binare ale multor numere raionale, unde valorile numerelor sunt egale, dar cile corespunztoare ale arborelui binar sunt diferite. De exemplu, 0.10111 ... 2  = 0.11000 ... 2 , care sunt ambele egale cu 3/4, dar prima reprezentare corespunde cii binare a arborelui LRLRLLL ... în timp ce a doua corespunde cii diferite LRLLRRR ... .

Scderea revizuirii

Un alt mod în care dovezile ar putea fi subminate este dac 1 - 0,999 ... pur i simplu nu exist, deoarece scderea nu este întotdeauna posibil. Structuri matematice cu o operaie plus , dar nu o operaiune de scdere includ comutative semigrupuri , monoids comutative i semirings . Richman are în vedere dou astfel de sisteme, proiectate astfel încât 0.999 ... <1.

În primul rând, Richman definete un numr zecimal non-negativ pentru a fi o expansiune zecimal literal. El definete ordinea lexicografic i o operaie de adugare, notând c 0,999 ... <1 pur i simplu pentru c 0 <1 în locurile respective, dar pentru orice x care nu termin, unul are 0,999 ... +  x  = 1 +  x . Deci, o particularitate a numerelor zecimale este c adunarea nu poate fi întotdeauna anulat; alta este c niciun numr zecimal nu corespunde cu 1 3 . Dup definirea înmulirii, numerele zecimale formeaz un semirectiv pozitiv, total ordonat, comutativ.

În procesul de definire a multiplicrii, Richman definete, de asemenea, un alt sistem pe care îl numete tiat D , care este setul de tieturi Dedekind ale fraciilor zecimale. În mod obinuit aceast definiie conduce la numerele reale, dar pentru o fracie zecimal d permite atât tierea (,  d ), cât i tierea principal (,  d ]. Rezultatul este c numerele reale triesc nelinitit împreun cu "fraciile zecimale. Din nou 0,999 ... <1. Nu exist infinitesimale pozitive în tietura D , dar exist" un fel de infinitesimal negativ ", 0 - , care nu are expansiune zecimal. El concluzioneaz c 0,999 .. . = 1 + 0 - , în timp ce ecuaia 0.999 ... + x = 1 nu are nicio soluie.

numere p -adice

Când sunt întrebai despre 0.999 ..., novicii cred adesea c ar trebui s existe un 9 final, considerând c 1 - 0.999 ... este un numr pozitiv pe care îl scriu ca 0.000 ... 1. Indiferent dac are sau nu sens, obiectivul intuitiv este clar: adugarea unui 1 la 9 final în 0.999 ... ar duce toate 9 în 0 i ar lsa un 1 în aceleai locuri. Printre alte motive, aceast idee eueaz, deoarece nu exist un 9 final în 0.999 ... Cu toate acestea, exist un sistem care conine un ir infinit de 9, inclusiv un ultim 9.

Cele p Numerele -adic sunt un sistem alternativ de numr de interes în teoria numerelor . La fel ca numerele reale, numerele p -adic pot fi construite din numerele raionale prin secvene Cauchy ; construcia folosete o metric diferit în care 0 este mai aproape de p i mult mai aproape de p n decât este de 1. Numerele p -adic formeaz un câmp pentru p prim i un inel pentru alte p , inclusiv 10. Deci aritmetica pot fi efectuate în p -adics i nu exist infinitesimale.

În numerele adic 10, analogii expansiunilor zecimale ruleaz spre stânga. Expansiunea cu 10 adici ... 999 are ultimele 9 i nu are primele 9. Se poate aduga 1 la locul respectiv i las în urm doar 0 dup efectuarea: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, i aa ... 999 = 1. O alt derivare folosete o serie geometric. Seria infinit implicat de ... 999 nu converge în numerele reale, dar converge în 10-adics, astfel încât se poate reutiliza formula familiar:

(Comparai cu seria de mai sus .) O a treia derivare a fost inventat de un elev de clasa a aptea care se îndoia de argumentul limitativ al profesorului c 0.999 ... = 1, dar a fost inspirat s ia dovada de multiplicare cu 10 de mai sus în direcia opus. : dac x  = ... 999 atunci 10 x  = ... 990, deci 10 x  =  x  - 9, deci x  = 1 din nou.

Ca o extensie final, de la 0.999 ... = 1 (în real) i ... 999 = 1 (în 10-adics), atunci prin credin oarb i jonglerie fr simboluri a simbolurilor se pot aduga cele dou ecuaii i ajungei la ... 999.999 ... = 0. Aceast ecuaie nu are sens nici ca o expansiune 10-adic sau ca o expansiune zecimal obinuit, dar se dovedete a fi semnificativ i adevrat în expansiunea zecimal dublu infinit a celor 10 -solenoid adadic , cu capetele stânga care se repet în cele din urm pentru a reprezenta numerele reale i în cele din urm se repet capetele din dreapta pentru a reprezenta numerele 10-adice.

Ultrafinitismul

Filosofia ultrafinitismului respinge conceptele fr sens care se ocup de mulimi infinite, cum ar fi ideea c notaia ar putea reprezenta un numr zecimal cu o succesiune infinit de nou , precum i însumarea infinit de multe numere corespunztoare valorilor poziionale ale cifrelor zecimale. în acel ir infinit. În aceast abordare a matematicii, doar un anumit numr (fix) de cifre zecimale finite este semnificativ. În loc de egalitate, cineva are egalitate aproximativ, care este egalitate pân la numrul de cifre zecimale pe care cineva are voie s le calculeze. Dei Katz i Katz susin c ultrafinitismul poate surprinde intuiia studenilor c 0.999 ... ar trebui s fie mai puin de 1, ideile ultrafinitismului nu se bucur de o acceptare pe scar larg în comunitatea matematic, iar filosofia nu are o baz matematic formal convenit în general .

Întrebri conexe

  • Paradoxurile lui Zenon , în special paradoxul alergtorului, amintesc de paradoxul aparent c 0.999 ... i 1 sunt egale. Paradoxul alergtorului poate fi modelat matematic i apoi, ca 0,999 ..., rezolvat folosind o serie geometric. Cu toate acestea, nu este clar dac acest tratament matematic abordeaz problemele metafizice care stau la baza explorrii lui Zenon.
  • Împrirea la zero apare în unele discuii populare de la 0,999 ... i, de asemenea, stârnete disputa. În timp ce majoritatea autorilor aleg s defineasc 0,999 ..., aproape toate tratamentele moderne las diviziunea la zero nedefinit, deoarece nu i se poate da niciun sens în numerele reale standard. Cu toate acestea, împrirea la zero este definit în alte sisteme, cum ar fi analiza complex , unde planul complex extins , adic sfera Riemann , are un punct la infinit . Aici, are sens s definim 1 0 pentru a fi infinit; i, de fapt, rezultatele sunt profunde i aplicabile multor probleme din inginerie i fizic. Unii matematicieni proemineni au susinut o astfel de definiie cu mult înainte ca oricare sistem numeric s fie dezvoltat.
  • Zero negativ este o alt caracteristic redundant a multor moduri de scriere a numerelor. În sistemele numerice, cum ar fi numerele reale, unde 0 denot identitatea aditiv i nu este nici pozitiv, nici negativ, interpretarea obinuit a 0 este c ar trebui s denote inversul aditiv al lui 0, care foreaz 0 = 0 Cu toate acestea, unele aplicaii tiinifice utilizeaz zerouri pozitive i negative separate, la fel ca unele sisteme de calculare a numerelor binare (de exemplu, numere întregi stocate în semn i mrime sau formate complementare ale acestora sau numere în virgul mobil, aa cum este specificat de standardul IEEE în virgul mobil ) .

Vezi si

Note

Referine

Lecturi suplimentare

  • Burkov, SE (1987). Model unidimensional al aliajului cvasicristalin. Jurnalul de Fizic Statistic . 47 (3/4): 409-438. Cod Bib : 1987JSP .... 47..409B . doi : 10.1007 / BF01007518 . S2CID  120281766 .
  • Burn, Bob (martie 1997). 81.15 Un caz de conflict. Gazeta matematic . 81 (490): 109-112. doi : 10.2307 / 3618786 . JSTOR  3618786 .
  • Calvert, JB; Tuttle, ER; Martin, Michael S .; Warren, Peter (februarie 1981). Epoca lui Newton: un curs interdisciplinar intensiv. Profesorul de istorie . 14 (2): 167-190. doi : 10.2307 / 493261 . JSTOR  493261 .
  • Choi, Younggi; Do, Jonghoon (noiembrie 2005). Egalitate implicat în 0,999 ... i (-8) 1/3. Pentru învarea matematicii . 25 (3): 13-15, 36. JSTOR  40248503 .
  • Choong, KY; Daykin, DE; Rathbone, CR (aprilie 1971). Aproximri raionale la . Matematica calculului . 25 (114): 387-392. doi : 10.2307 / 2004936 . JSTOR  2004936 .
  • Edwards, B. (1997). Înelegerea i utilizarea de ctre un student de licen a definiiilor matematice în analiza real. În Dossey, J .; Swafford, JO; Parmentier, M .; Dossey, AE (eds.). Lucrrile celei de-a 19-a reuniuni anuale a capitolului nord-american al Grupului internaional pentru psihologia educaiei matematice . 1 . Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education. pp. 1722.
  • Eisenmann, Petr (2008). "De ce nu este adevrat c 0.999 ... <1" (PDF) . Predarea matematicii . 11 (1): 35-40 . Accesat la 4 iulie 2011 .
  • Ely, Robert (2010). Concepii non-standard ale elevilor despre infinitesimale. Jurnal pentru cercetare în educaia matematic . 41 (2): 117-146. doi : 10.5951 / jresematheduc.41.2.0117 .
    Acest articol este un studiu de teren care implic un student care a dezvoltat o teorie în stil leibnizian a infinitesimalelor pentru a o ajuta s îneleag calculul i, în special, pentru a explica 0.999 ... rmânând la 1 cu un infinitesimal 0.000 ... 1.
  • Ferrini-Mundy, J .; Graham, K. (1994). Kaput, J .; Dubinsky, E. (eds.). Cercetare în învarea calculului: înelegerea limitelor, derivatelor i integralelor. Note MAA: Probleme de cercetare în învarea matematicii universitare . 33 : 3145.
  • Lewittes, Joseph (2006). Teorema lui Midy pentru zecimale periodice. arXiv : math.NT / 0605182 .
  • Gardiner, Tony (iunie 1985). Procese infinite în matematica elementar: Cât ar trebui s le spunem copiilor. Gazeta matematic . 69 (448): 77-87. doi : 10.2307 / 3616921 . JSTOR  3616921 .
  • Monaghan, John (decembrie 1988). Matematic real: un aspect al viitorului nivelului A. Gazeta matematic . 72 (462): 276-281. doi : 10.2307 / 3619940 . JSTOR  3619940 .
  • Navarro, Maria Angeles; Carreras, Pedro Pérez (2010). O propunere metodologic socratic pentru studiul egalitii 0,999 ... = 1 (PDF) . Predarea matematicii . 13 (1): 17-34 . Accesat la 4 iulie 2011 .
  • Przenioslo, Malgorzata (martie 2004). Imagini ale limitei funciei formate în cursul studiilor matematice la universitate. Studii educaionale în matematic . 55 (1-3): 103-132. doi : 10.1023 / B: EDUC.0000017667.70982.05 . S2CID  120453706 .
  • Sandefur, James T. (februarie 1996). Folosirea similitudinii de sine pentru a gsi lungimea, aria i dimensiunea. The American Mathematical Monthly . 103 (2): 107-120. doi : 10.2307 / 2975103 . JSTOR  2975103 .
  • Sierpiska, Anna (noiembrie 1987). Studeni în tiine umaniste i obstacole epistemologice legate de limite. Studii educaionale în matematic . 18 (4): 371-396. doi : 10.1007 / BF00240986 . JSTOR  3482354 . S2CID  144880659 .
  • Szydlik, Jennifer Earles (mai 2000). Credine matematice i înelegere conceptual a limitei unei funcii. Jurnal pentru cercetare în educaia matematic . 31 (3): 258-276. doi : 10.2307 / 749807 . JSTOR  749807 .
  • Tall, David O. (2009). Matematic dinamic i amestecul structurilor de cunoatere în calcul. Educaie matematic ZDM . 41 (4): 481492. doi : 10.1007 / s11858-009-0192-6 . S2CID  14289039 .
  • Tall, David O. (mai 1981). Intuii ale infinitului. Matematica în coal . 10 (3): 30-33. JSTOR  30214290 .

linkuri externe

Opiniones de nuestros usuarios

Anamaria Gheorghiu

Postare grozavă despre 0,999 ....

Claudiu Cozma

Întotdeauna este bine să înveți. Mulțumesc pentru articolul despre 0,999 ....

Lidia Enache

Credeam că știu deja totul despre 0,999 ..., dar în acest articol am verificat că anumite detalii pe care le consideram bune nu sunt atât de bune. Mulțumesc pentru informații.

Mirela Musat

Limbajul pare vechi, dar informațiile sunt de încredere și, în general, tot ce este scris despre 0,999 ... oferă multă încredere.