1-grafic plan



Toate cunoștințele pe care oamenii le-au acumulat de-a lungul secolelor despre 1-grafic plan sunt acum disponibile pe internet, iar noi le-am compilat și le-am aranjat pentru dumneavoastră în cel mai accesibil mod posibil. Dorim să puteți accesa rapid și eficient tot ceea ce doriți să știți despre 1-grafic plan, ca experiența dumneavoastră să fie plăcută și să simțiți că ați găsit cu adevărat informațiile pe care le căutați despre 1-grafic plan.

Pentru a ne atinge scopurile ne-am străduit nu numai să obținem cele mai actualizate, ușor de înțeles și veridice informații despre 1-grafic plan, dar am avut grijă ca designul, lizibilitatea, viteza de încărcare și ușurința de utilizare a paginii să fie cât mai plăcute, astfel încât să vă puteți concentra asupra esențialului, cunoscând toate datele și informațiile disponibile despre 1-grafic plan, fără să vă faceți griji pentru nimic altceva, noi ne-am ocupat deja de asta pentru dumneavoastră. Sperăm că ne-am atins scopul și că ați găsit informațiile pe care le căutați despre 1-grafic plan. Așadar, vă urăm bun venit și vă încurajăm să vă bucurați în continuare de experiența de utilizare a scientiaro.com .

Un desen 1 plan al graficului Heawood : ase margini au o singur traversare, iar restul de 15 margini nu sunt traversate.

În teoria topologic a graficelor , un grafic 1 plan este un grafic care poate fi trasat în planul euclidian în aa fel încât fiecare margine s aib cel mult un punct de trecere, unde traverseaz o singur margine suplimentar. În cazul în care un grafic de 1-plan, una dintre cele mai generalizrile naturale ale graficelor planare , este tras în acest fel, desenul este numit un grafic 1-plan sau 1-plan încorporarea a graficului .

Colorare

Graficele cu 1 plan au fost studiate pentru prima dat de Ringel (1965) , care a artat c pot fi colorate cu cel mult apte culori. Mai târziu, numrul exact de culori necesare pentru a colora aceste grafice, în cel mai ru caz, sa dovedit a fi ase. Exemplul graficului complet K 6 , care este 1 plan, arat c graficele 1 plan pot necesita uneori ase culori. Cu toate acestea, dovada c ase culori sunt întotdeauna suficiente este mai complicat.

Motivaia lui Ringel a fost în încercarea de a rezolva o variaie a colorrii totale pentru graficele plane , în care se coloreaz simultan vârfurile i feele unui grafic plan în aa fel încât nici dou vârfuri adiacente s nu aib aceeai culoare, nici dou fee adiacente s aib aceeai culoare i niciun vârf i fa care sunt adiacente unul cu cellalt nu au aceeai culoare. Acest lucru se poate face în mod evident folosind opt culori prin aplicarea teoremei celor patru culori graficului dat i graficului su dual separat, folosind dou seturi disjuncte de patru culori. Cu toate acestea, mai puine culori pot fi obinute prin formarea unui grafic auxiliar care are un vârf pentru fiecare vârf sau fa a graficului plan dat i în care dou vârfuri ale graficului auxiliar sunt adiacente ori de câte ori corespund trsturilor adiacente ale graficului plan dat. O colorare de vârf a graficului auxiliar corespunde unei colorri de vârf a feei grafului plan original. Acest grafic auxiliar este 1-plan, din care rezult c problema de colorare a vârfului-fa a Ringel poate fi, de asemenea, rezolvat cu ase culori. Graficul K 6 nu poate fi format ca grafic auxiliar în acest fel, dar totui problema de colorare a vertexului-fa necesit uneori i ase culori; de exemplu, dac graficul plan care urmeaz a fi colorat este o prism triunghiular , atunci cele unsprezece vârfuri i feele sale necesit ase culori, deoarece niciunui dintre trei nu li se poate da o singur culoare.

Densitatea muchiei

Fiecare grafic 1 plan cu n vârfuri are cel mult 4 n  - 8 muchii. Mai puternic, fiecare desen 1 plan are cel mult n  - 2 traversri ; îndeprtarea unei margini din fiecare pereche de margini de încruciare las un grafic plan, care poate avea cel mult 3 n  - 6 margini, din care urmeaz imediat 4 n  - 8 legat de numrul de muchii din graficul 1-plan original. Cu toate acestea, spre deosebire de graficele plane (pentru care toate graficele plane maxime de pe un set de vârfuri date au acelai numr de margini ca i celelalte), exist grafice maxime 1-plane (grafice la care nu se pot aduga margini suplimentare pstrând în acelai timp 1 planaritate) ) care au semnificativ mai puin de 4 n  - 8 margini. Limita de 4 n  - 8 pe numrul maxim posibil de margini într-un grafic 1 plan poate fi utilizat pentru a arta c graficul complet K 7 pe apte vârfuri nu este 1 plan, deoarece acest grafic are 21 de muchii i în acest caz 4 n  - 8 = 20 <21.

Se spune c un grafic 1 plan este un grafic optim 1 plan dac are exact 4 n  - 8 muchii, maximul posibil. Într-o încorporare 1-plan a unui grafic optim 1-plan, muchiile necruciate formeaz în mod necesar o patrulater (un grafic poliedric în care fiecare fa este un patrulater ). Fiecare cvadrangulare d natere unui grafic optim 1 plan în acest mod, prin adugarea celor dou diagonale la fiecare dintre feele sale patrulatere. Rezult c fiecare grafic optim 1 plan este eulerian (toate vârfurile sale au gradul egal ), c gradul minim într-un astfel de grafic este de ase i c fiecare grafic optim 1 plan are cel puin opt vârfuri de grad exact ase. În plus, fiecare grafic optim 1 planar este conectat la 4 vârfuri i fiecare tiere a 4 vârfuri într-un astfel de grafic este un ciclu de separare în patrulaterul subiacent.

Graficele care au desene 1-plane drepte (adic desene în care fiecare margine este reprezentat de un segment de linie i în care fiecare segment de linie este traversat de cel mult o alt margine) au o legtur uor mai strâns de 4 n  - 9 pe numrul maxim de muchii, realizat de infinit de multe grafice.

Completai grafice multipartite

Se cunoate o clasificare complet a graficelor complete 1 plan , a graficelor bipartite complete i, mai general, a graficelor multipartite complete . Fiecare grafic bipartit complet de forma K 2, n este 1-plan, la fel ca orice grafic tripartit complet de forma K 1,1, n . În afar de aceste seturi infinite de exemple, singurele grafuri multipartite complete 1-plane sunt K 6 , K 1,1,1,6 , K 1,1,2,3 , K 2,2,2,2 , K 1, 1,1,2,2 i subgrafele acestora. Graficele multipartite complete non-1-planare minime sunt K 3,7 , K 4,5 , K 1,3,4 , K 2,3,3 i K 1,1,1,1,3 . De exemplu, graficul bipartit complet K 3,6 este 1-plan, deoarece este un subgraf al lui K 1,1,1,6 , dar K 3,7 nu este 1-plan.

Complexitatea computaional

Este NP-complet pentru a testa dac un grafic dat este 1-plan i rmâne NP-complet chiar i pentru graficele formate din grafice plane prin adugarea unei singure margini i pentru graficele limii de band mrginite . Problema este tratabil cu parametri fixi când este parametrizat prin numr ciclomatic sau prin adâncimea arborelui , deci poate fi rezolvat în timp polinomial atunci când aceti parametri sunt delimitai.

Spre deosebire de teorema lui Fáry pentru graficele plane, nu fiecare grafic 1 plan poate fi desenat 1 plan cu segmente de linie dreapt pentru muchiile sale. Cu toate acestea, testarea dac un desen 1 plan poate fi îndreptat în acest fel se poate face în timp polinomial . În plus, fiecare grafic 1 plan conectat cu 3 vârfuri are un desen 1 plan în care cel mult o margine, pe faa exterioar a desenului, are o îndoire în el. Acest desen poate fi construit în timp liniar dintr-o încorporare 1-plan a graficului. Graficele 1 plan au grosimea crii delimitate , dar unele grafice 1 plan, inclusiv K 2,2,2,2 au grosimea crii cel puin patru.

Graficele 1-plane au delimitarea limii arborelui local , ceea ce înseamn c exist o funcie (liniar) f astfel încât graficele 1-plane cu diametrul d au limea arborelui cel mult f ( d ); aceeai proprietate este mai general pentru graficele care pot fi încorporate pe o suprafa a genului delimitat cu un numr delimitat de încruciri pe margine. Au, de asemenea , separatoare , seturi mici de vârfuri a cror îndeprtare descompune graficul în componente conectate a cror dimensiune este o fracie constant a dimensiunii întregului grafic. Pe baza acestor proprieti, numeroi algoritmi pentru graficele plane, cum ar fi tehnica Baker pentru proiectarea algoritmilor de aproximare , pot fi extinse la graficele cu 1 plan. De exemplu, aceast metod conduce la o schem de aproximare timp polinomial pentru setul maxim independent al unui grafic 1 plan.

Generalizri i concepte conexe

Clasa graficelor analoge cu graficele exterioare planare pentru 1-planaritate se numesc grafice exterioare-1-planare . Acestea sunt grafice care pot fi desenate într-un disc, cu vârfurile de pe marginea discului i cu cel mult o traversare pe margine. Aceste grafice pot fi întotdeauna desenate (într-un mod exterior-1-plan) cu margini drepte i încruciri cu unghi drept . Prin utilizarea programrii dinamice pe arborele SPQR al unui grafic dat, este posibil s se testeze dac este exterior-1-plan în timp liniar . Componentele triconectate ale graficului (nodurile arborelui SPQR) pot consta numai din grafice ciclice , grafice de legturi i grafice complete cu patru vârfuri , din care rezult, de asemenea, c graficele exterioare-1-planare sunt plane i au limea arborelui cel mult trei. .

Graficele 1 plan includ graficele cu 4 hri , grafice formate din adiacenele regiunilor din plan cu cel mult patru regiuni întâlnite în orice punct. În schimb, fiecare grafic optim 1 plan este un grafic cu 4 hri. Cu toate acestea, graficele 1 planare care nu sunt optime 1 planare pot s nu fie grafice de hart.

Graficele 1-plane au fost generalizate în grafice k- planare, grafice pentru care fiecare margine este traversat de cel mult k ori (graficele 0-plane sunt exact graficele plane). Ringel a definit numrul de trecere local al lui G pentru a fi cel mai mic numr negativ k astfel încât G are un desen k -planar. Deoarece numrul de trecere local este gradul maxim al graficului de intersecie al marginilor unui desen optim, iar grosimea (numrul minim de grafice plane în care marginile pot fi partiionate) poate fi vzut ca numrul cromatic al unui grafic de intersecie a un desen adecvat, rezult din teorema lui Brooks c grosimea este cel mult una plus numrul de trecere local. Cele k Graficele -planar cu n noduri au cel mult O ( k 1/2 n ) margini i treewidth O (( KN ) 1/2 ). Un minor superficial al unui grafic k- planar, cu adâncimea d , este el însui un (2 d  + 1) grafic k- planar, deci minorii superficiali ai graficelor 1 plan i ale graficelor k- plan sunt, de asemenea , grafuri rare , ceea ce implic faptul c graficele 1-plan i k -planar au expansiune mrginit .

Graficele nonplanare pot fi, de asemenea, parametrizate prin numrul lor de încruciare , numrul minim de perechi de margini care se încrucieaz în orice desen al graficului. Un grafic cu numrul de trecere k este neaprat k -planar, dar nu neaprat invers. De exemplu, graficul Heawood are numrul de trecere 3, dar nu este necesar ca cele trei încruciri s aib loc pe aceeai margine a graficului, deci este 1-plan i poate fi de fapt desenat într-un mod care optimizeaz simultan numrul total de traversri i traversri pe margine.

Un alt concept înrudit pentru graficele neplanare este asimetria graficului , numrul minim de muchii care trebuie eliminate pentru a face un grafic plan.

Referine

Lecturi suplimentare

Opiniones de nuestros usuarios

Vasilica Visan

Această intrare despre 1-grafic plan a fost exact ceea ce am vrut să găsesc.

Lucia Crisan

Tatăl meu m-a provocat să fac temele fără să folosesc nimic din Wikipedia, i-am spus că o pot face căutând multe alte site-uri. Noroc că am găsit acest site și acest articol pe 1-grafic plan m-a ajutat să-mi duc temele. Aproape că am Am fost tentat să merg pe Wikipedia, pentru că nu am găsit nimic despre 1-grafic plan, dar din fericire am găsit-o aici, pentru că atunci tatăl meu a verificat istoricul de navigare pentru a vedea unde a fost. Vă puteți imagina dacă ajung la mergi pe Wikipedia? Sunt norocos că am găsit acest site și articolul despre 1-grafic plan aici. De aceea îți dau cinci stele ale mele.

Aurelia Constantin

O mare descoperire acest articol pe 1-grafic plan și pe întreaga pagină. Merge direct la favorite.