Distribuția Gauss

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.^[1]

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ²), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Bibliografie.^[2][3][4][5]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

${\displaystyle M(X)\,}$ = ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx}$ = ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$ = ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.f(x)\,dx}$=${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$=${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$=${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle H=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx}$ = ${\displaystyle -\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\ln({\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}})\,dx}$ = ${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!}$

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

${\displaystyle F(t)}$=${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx}$=${\displaystyle {\frac {1}{\sigma .{\sqrt {2\pi }}}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}x.e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx}$

Pentru repartiția N~(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

${\displaystyle \phi (t)}$=${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ²), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

${\displaystyle P(X<x)}$=${\displaystyle \phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}$

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

• M(X − μ) = M(X)− μ
• D(X − μ) = D(X)
• D(X/σ)=(1/σ²) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ²), atunci variabila aleatoare redusă

${\displaystyle {\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

este repartizată N(0,1).

Dacă X_k:N(μ_k,σ_k²), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X₁+X₂+...+X_n are repartiția:^[6]

${\displaystyle N(\sum _{k=1}^{n}{\mu }_{k},{\sqrt {(}}\sum _{k=1}^{n}{\sigma }_{k}^{2})).}$

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Dacă X_k:N(μ,σ²), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X₁+X₂+...+X_n)/n are repartiția:

${\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{{\sqrt {(}}n)}})}$

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă X_k - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie ${\displaystyle \mu }$ și dispersia ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, atunci limita mediei lor aritmetice (X₁+X₂+...+X_n)/n atunci cand ${\displaystyle n->\infty }$ are proprietatea:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma /{\sqrt {(}}n)}}({\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-\mu )->N(0,1)}$

Rezultă că ${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}$ se aproximează cu ${\displaystyle N(\mu ,{\frac {\sigma }{n}})}$ pentru ${\displaystyle n->\infty }$

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnificative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, ${\displaystyle P({|X-\mu |>=3\sigma })=1-P({|X-\mu |<3\sigma })=1-\phi (3)=0,0027}$, valoare care în unele situații poate fi neglijată.

• Distribuție de probabilitate
• Distribuția binomială
• Distribuția Rayleigh
• Variabilă aleatoare
• Rugozitate#Filtre

• en Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website. Computes the cumulative area under the normal curve (i.e., the cumulative probability), given a z-score.
• en Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
• en GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
• en Normal Distribution Table
• en Download free two-way normal distribution calculator
• en Download free normal distribution fitting software
• en http://www.pruteanu.ro/704reflec_files/gauss.htm Arhivat în 30 mai 2013, la Wayback Machine.

Portal Matematică