Funcție periodică

Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări. Nu are introducere cu explicația scurtă a subiectului sau introducerea existentă este prea scurtă. Marcat din mai 2011. Trebuie pus(ă) în formatul standard. Marcat din mai 2011.  Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor.

O funcție periodică este o funcție cu valori care se repetă pe intervale ale domeniului de definiție. Exemple cunoscute sunt funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă, etc.

1. Definiție: Fie ${\displaystyle {\mathcal {F}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,}$ o funcție și fie F mulțimea tuturor numerelor reale pozitive t pentru care :${\displaystyle {\mathcal {F}}(x+t)={\mathcal {F}}(x)}$ pentru orice x din ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$. Elementele mulțimii F se numesc perioade ale funcției ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Dacă marginea inferioară a numerelor din F (inf F)aparține lui F atunci această margine se numește perioada principală a funcției ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ .

2. Propoziție: Dacă ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ este periodică și are perioada principală T1 atunci ${\displaystyle {\mathcal {F}}(ax)}$,a fiind un numar real pozitiv diferit de zero,este periodică de perioadă principală T=T1/a.

3. Grafic: Graficul unei funcții periodice se trasează mai intai în intervalul de lungime egală cu perioada principală T a funcției. Graficul se extinde apoi și pe intervalele etc. prin deplasarea oricărui punct M(x,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(x))paralel cu axa (ox),în punctul M'(x+T,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(x)).Dacă T este perioada principală a funcției ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ atunci funcția ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ admite și perioada KT,unde k este din ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ ,K pozitiv.Demonstrația se face prin inducție matematică.

4.Teoremă: Dacă ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ și${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ sunt funcții periodice de perioade principale T și S și dacă T și S sunt numere întregi pozitive, atunci suma ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ +${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ este periodică și admite ca perioadă pe cel mai mic multiplu comun al perioadelor T și S.

• Gheorghe Rizescu, Eugenia Rizescu: "Teme pentru cercurile de matematică din licee", Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.