Hipocicloidă

În geometrie, o hipocicloidă este o curbă plană trasată de un punct fixat pe un cerc care se rostogolește în interiorul altui cerc mai mare. Este asemănătoare cu o cicloidă, unde cercul se rostogolește pe o dreaptă.

Dacă cercul mai mic are raza r, iar cercul mai mare are raza R = kr, atunci ecuațiile parametrice pentru curbă sunt date de

${\displaystyle x(\theta )=r(k-1)\left(\cos \theta +{\frac {\cos((k-1)\theta )}{k-1}}\right),}$

${\displaystyle y(\theta )=r(k-1)\left(\sin \theta -{\frac {\sin((k-1)\theta )}{k-1}}\right).}$

Dacă k este întreg, atunci curba este închisă și are k cuspide.

Dacă k este număr rațional, adică k = p/q, atunci curba are p cuspide.

Dacă k este număr irațional, atunci curba nu se închide niciodată și umple spațiul din cercul mare cu excepția unui disc de rază R − r în centrul cercului mare.

• Exemple de hipocicloide
• 
  k=3 - o deltoidă
• 
  k=4 - o astroidă
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1
• 
  k=3.8
• 
  k=5.5
• 
  k=7.2

Hipocicloida este un caz particular de hipotrohoidă, care este un caz particular de ruletă.

O hipocicloidă cu trei cuspide se numește deltoidă.

O hipocicloidă cu patru cuspide se numește astroidă.

Evoluta unei hipocicloide este o versiune mărită a hipocicloidei, în timp ce evolventa unei hipocicloide este o versiune mai mică a sa.^[1]

Podara unei hipocicloide cu un pol în centrul hipocicloidei este o roză.

Izoptica unei hipocicloide este o hipocicloidă.

Curbele similare hipocicloidelor pot fi desenatre cu jucăriile Spirograph. Mai exact, această jucărie poate desena hipotrohoide și epitrohoide.

Logoul echipei Pittsburgh Steelers include trei astroide (hipocicloide cu patru cuspide).

• Cicloidă
• Epicicloidă
• Hipotrohoidă