Inegalitatea lui Bernoulli

Graficele funcțiilor
y = ( 1 + x ) r {\displaystyle y=(1+x)^{r}\,}

y=(1+x)^{r}\,

, în roșu
y = 1 + r x {\displaystyle y=1+rx\,}

y=1+rx\,

, în albastru.
S-a luat r = 3 {\displaystyle r=3\,}

r=3\,

Inegalitatea lui Bernoulli, atribuită lui Jakob Bernoulli (1654 - 1705), reprezintă una din inegalitățile care stau la baza teoretică a analizei matematice.

Enunț

Dacă x , r ∈ R {\displaystyle x,r\in \mathbb {R} } $x,r\in \mathbb {R}$ , cu x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} $x\geq -1$ și r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} $r\geq 1$ , atunci:

( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}

(1+x)^{r}\geq 1+rx

Demonstrație

Cazul r ∈ Z {\displaystyle r\in \mathbb {Z} } $r\in \mathbb {Z}$

Se aplică metoda inducției complete infinite din aproape în aproape, metodă numită inducție matematică.

Pentru r = 0 {\displaystyle r=0\,} $r=0\,$ , inegalitatea este echivalentă 1 ≥ 1 {\displaystyle 1\geq 1} $1\geq 1$ , ceea ce este evident. Acesta este cazul de pornire al metodei inducției infinite.

Presupunând că inegalitatea se verifică pentru r = n {\displaystyle r=n\,} $r=n\,$ se demonstrează valabilitatea și pentru r = n + 1 {\displaystyle r=n+1\,} $r=n+1\,$ . Acesta este pasul inductiv al metodei.

Din ( 1 + x ) n ≥ 1 + n x {\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx} $(1+x)^{n}\geq 1+nx$ rezultă

( 1 + x ) ( 1 + x ) n ≥ ( 1 + x ) ( 1 + n x ) {\displaystyle (1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}

(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)

și aceasta deoarece ( 1 + x ) ≥ 0 {\displaystyle (1+x)\geq 0} $(1+x)\geq 0$ .

⟺ {\displaystyle \iff } $\iff$

( 1 + x ) n + 1 ≥ 1 + n x + x + n x 2 {\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}}

(1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}

⟺ {\displaystyle \iff } $\iff$ ( 1 + x ) n + 1 ≥ 1 + ( n + 1 ) x + n x 2 {\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}} $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}$ .

Cum însă 1 + ( n + 1 ) x + n x 2 ≥ 1 + ( n + 1 ) x {\displaystyle 1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x} $1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x$

( deoarece n x 2 ≥ 0 {\displaystyle nx^{2}\geq 0} $nx^{2}\geq 0$ )

rezultă

( 1 + x ) n + 1 ≥ 1 + ( n + 1 ) x {\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x} $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$

așadar, propoziția este valabilă și pentru r = n + 1 {\displaystyle r=n+1\,} $r=n+1\,$

Cazul r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } $r\in \mathbb {R}$

În acest caz, se va face apel la noțiunea de serie binomială care se poate aplica pentru exponenți fracționari.

Generalizare

Aplicații

Bibliografie

Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974