Produs cartezian

Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor.

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Fie ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B}$ două mulțimi nevide. Dacă ${\displaystyle a\in A}$ iar ${\displaystyle b\in B,}$ atunci mulțimea ${\displaystyle \{\{a\},\ \{a,b\}\}}$ se numește pereche ordonată și se notează cu ${\displaystyle (a,b).}$

Perechile ordonate au proprietatea caracteristică următoare: dacă ${\displaystyle a,s\in A}$ iar ${\displaystyle b,t\in B,}$ atunci ${\displaystyle (a,b)=(s,t)}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle a=s}$ și ${\displaystyle b=t.}$

Fie ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B}$ două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea ${\displaystyle A}$ și mulțimea ${\displaystyle B,}$ mulțimea

${\displaystyle A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.}$

Fie ${\displaystyle A=\varnothing }$ mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există vreun ${\displaystyle a\in A,}$ deci ${\displaystyle \varnothing \times B=\varnothing }$. Analog, ${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }$ și în particular ${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$.

Produsul cartezian ${\displaystyle A\times A}$ se notează și ${\displaystyle A^{2}.}$

Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:

• Este necomutativ, adică ${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$ (cu excepția cazurilor ${\displaystyle A=\varnothing }$ sau ${\displaystyle B=\varnothing }$ sau ${\displaystyle A=B}$).
• Conservă proprietatea de incluziune: dacă ${\displaystyle A\subseteq C}$ și${\displaystyle B\subseteq D}$, atunci ${\displaystyle A\times B\subseteq C\times D.}$
• Este distributiv față de reuniune (${\displaystyle \cup }$), intersecție (${\displaystyle \cap }$) și diferență (${\displaystyle \setminus }$):
  • ${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$;
  • ${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$;
  • ${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)}$;
  • ${\displaystyle (A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)}$;
  • ${\displaystyle (A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)}$;
  • ${\displaystyle (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)}$.

Pentru orice mulțimi finite ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle B,}$ cardinali mulțimilor ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ și ${\displaystyle A\times B}$ — adică numerele lor respective de elemente — verifică:

${\displaystyle \mathrm {Card} (A\times B)=\mathrm {Card} (A)\times \mathrm {Card} (B)}$

De fapt, această egalitate este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.

Această secțiune este un ciot. Puteți ajuta Wikipedia prin completarea sa !

În cazul a trei mulțimi produsul cartezian constă în triplete ordonate. Pentru n mulțimi se formează n-upluri ordonate.

• Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
• Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004

• C. Dinescu, B. Săvulescu, Inițiere în matematica aplicată, Editura Albatros, București, 1984

Portal Matematică