Unitatea imaginară

Unitatea imaginară, notată de obicei cu i, este un număr al cărui pătrat este ${\displaystyle -1}$, adică astfel încât ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Cum nu există numere reale care ridicate la pătrat să fie numere negative, acest număr a fost numit imaginar de Rene Descartes, iar de aici rezultă notația i, dată de Euler.

Existența unității imaginare este baza construcției numerelor complexe.

Unitatea imaginară i este definită ca fiind o soluție a ecuației:

${\displaystyle x^{2}+1=0\ }$

Dată fiind această soluție, singura cealaltă soluție a ecuație este -i. Nu contează care soluție este notată i și care soluție este notată -i, ambele soluții fiind imposibil de distins a priori.

Unitatea imaginară este uneori scrisă ca ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$. Însă, această expresie este de evitat pentru că nu este riguroasă — rădăcina pătrată fiind definită numai pentru numere reale pozitive — și conduce la niște erori. Spre exemplu, următorul calcul este incorect:

${\displaystyle -1=i\cdot i=\underbrace {{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}} _{\text{expresie nedefinită}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$    (incorect)

În fizică, mai ales în ingineria electronică, se mai folosește simbolul j, pentru a evita o confuzie cu intensitatea curentului electric. Această notație se folosește și în niște limbaje de programare, precum Python:

>>> x = 1 + 1j
>>> type(x)
<class 'complex'>

• Modulul lui i este 1: ${\displaystyle |i|=1}$
• Argumentul principal a lui i este ${\displaystyle \pi /2}$: ${\displaystyle \mathrm {Arg} (i)=\pi /2}$
• Coordonatele carteziene ale lui i în planul complex sunt ${\displaystyle (0,1)}$, iar coordonatele polare sale sunt ${\displaystyle (1,\pi /2)}$.
• O reprezentare exponențială a lui i este ${\displaystyle i=e^{i\,\pi /2}}$.
• Inversul lui i este propriul său opus: ${\displaystyle 1/i=-i}$
• Conjugatul lui i este propriul său opus: ${\displaystyle {\bar {i}}=-i}$
• Numărul i este o rădăcină de ordin patru a unității, iar puterile întregi sale se repetă periodic:

${\displaystyle i^{0}=1,\;i^{1}=i,\;i^{2}=-1,\;i^{3}=-i,\;i^{4}=1,\;i^{5}=i,\;\dots }$

• Număr complex
• Identitatea lui Euler

Portal Matematică

• en Imaginary unit – Mathworld