Cum să calculezi numerele complexe

Introducere

Numerele complexe reprezintă o ramură importantă a matematicii și sunt utilizate într-o varietate de domenii, în special în fizică și inginerie. În acest articol, vom discuta cum să calculăm numerele complexe și cum să aplicăm operațiile de bază asupra lor.

Definiții și notație

Un număr complex este definit ca o pereche ordonată de numere reale (a, b), unde a reprezintă partea reală și b reprezintă partea imaginată. Notăm numerele complexe astfel: z = a + bi, unde i este unitatea imaginară, cu proprietatea că i^2 = -1.

Notăm partea reală și cea imaginată astfel: Re(z) = a și Im(z) = b.

Există de asemenea câteva noțiuni importante în ceea ce privește numerele complexe:

• Modulul unui număr complex z = a + bi este dat de |z| = sqrt(a^2 + b^2).
• Conjugatul unui număr complex z = a + bi este dat de z̅ = a - bi.
• Forma polară a unui număr complex este z = r(cosθ + i·sinθ), unde r este modulul și θ este argumentul complexului.

Adunarea și scăderea numerelor complexe

Adunarea și scăderea numerelor complex se face pe componente:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

De exemplu, avem:

(2 + 3i) + (4 - 2i) = 6 + i

(2 + 3i) - (4 - 2i) = -2 + 5i

Înmulțirea numerelor complexe

Înmulțirea numerelor complexe se face utilizând proprietatea conform căreia i^2 = -1:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

De exemplu, avem:

(2 + 3i)(4 - 2i) = 14 + 8i

Împărțirea numerelor complexe

Împărțirea numerelor complexe se face utilizând forma polară:

(a + bi)/(c + di) = ((a + bi)·(c - di))/((c + di)·(c - di))

De exemplu, avem:

(2 + 3i)/(4 - 2i) = (-4/10) + (1/5)i

Exponentierea numerelor complexe

Pentru a încadra exponentierea numerelor complexe, este mai întâi necesar să discutăm despre forma exponențială a unui număr complex:

e^xi = cos(x) + i·sin(x)

Astfel, putem scrie

a + bi = r(cosθ + i·sinθ) = re^(iθ)

și astfel, putem defini exponentierea:

e^(a + bi) = e^a · e^(bi) = e^a (cos(b) + i·sin(b))

De exemplu, avem:

e^(2 + 3i) = e^2(cos(3) + i·sin(3))

Concluzii

Sperăm că acest articol v-a clarificat puțin noțiunile privind numerele complexe și cum să efectuați operațiile de bază asupra lor. Deși aceste operații par la început complexe (scuzați jocul de cuvinte), ele pot fi destul de intuitive odată ce vă obișnuiți cu notația și cu definițiile.