Concoida lui de Sluze

În articolul de astăzi vom aprofunda în Concoida lui de Sluze, un subiect care a atras atenția multor oameni în ultima vreme. Concoida lui de Sluze este un subiect care a generat o mare dezbatere și despre care mulți caută informații pentru a o înțelege mai bine. De la origini până la impactul asupra societății actuale, Concoida lui de Sluze este un subiect care nu lasă pe nimeni indiferent. Pe parcursul acestui articol, vom încerca să dezvăluim misterele din jurul lui Concoida lui de Sluze, analizând diferitele sale fațete și oferind cititorului o perspectivă mai completă și mai profundă asupra acestei chestiuni.

Concoida lui de Sluze pentru câteva valori ale lui $a$

În geometria algebrică concoidele lui de Sluze sunt o familie de curbe plane studiate în 1662 de matematicianul valon René François Walter, baron de Sluze.^[1]^[2]

Definiție

Curbele sunt definite de ecuația în coordonate polare^[3]

r=\sec \theta +a\cos \theta .

În coordonate carteziene curbele satisfac ecuația implicită^⁠(d)^[3]

(x-1)(x^{2}+y^{2})=ax^{2}\,

cu excepția cazului $a = 0$ , forma implicită are un punct izolat în $(0,0)$ , care nu este prezent în forma polară.

În formă parametrică pot fi scrise sub forma^[3]

x=(\sec t+a\cos t)\cos t

y=(\sec t+a\cos t)\sin t

Sunt curbe raționale^⁠(d), circulare, cubice^⁠(d).

Aceste expresii au pentru $a \neq 0$ o asimptotă $x = 1$ . Punctul cel mai îndepărtat de asimptotă este $(1 + a, 0)$ . Pentru $a < -1$ $(0,0)$ este un nod.

Pentru $a \geq -1$ aria dintre curbă și asimptotă este

|a|(1+a/4)\pi \,

în timp ce pentru $a < -1$ aria este

\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}-a\left(2+{\frac {a}{2}}\right)\arcsin {\frac {1}{\sqrt {-a}}}.

Dacă $a < -1$ , curba va avea o buclă. Aria buclei este

\left(2+{\frac {a}{2}}\right)a\arccos {\frac {1}{\sqrt {-a}}}+\left(1-{\frac {a}{2}}\right){\sqrt {-(a+1)}}.

Patru dintre curbe au nume proprii:

$a = 0$ , dreaptă (asimptota restului curbelor din familie);
$a = -1$ , cisoida lui Diocles^⁠(d);
$a = -2$ , strofoida^⁠(d) dreaptă;
$a = -4$ , trisectoarea lui Maclaurin

Curbe înrudite

Asemănătoare cu concoida lui de Sluze este concoida lui Nicomede, a cărei ecuație în coordonate polare este:^[4]

r=a\sec \theta +b.

Note

^ en Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics, Volume 2. Courier Dover Publications. p. 327. ISBN 9780486204307. .
^ en „Conchoid of de Sluze by J. Dziok et al.on Computers and Mathematics with Applications 61 (2011) 2605–2613” (PDF).
^ ^a ^b ^c en Eric W. Weisstein, Conchoid of de Sluze la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Conchoid of Nicomedes la MathWorld.

Legături externe

Portal Matematică

en Curves: Conchoid of de Sluze la MacTutor