Trisectoarea lui Maclaurin

În geometria algebrică trisectoarea lui Maclaurin este o curbă plană cubică notabilă pentru proprietatea sa de a diviza în trei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru trisecțiunea unui unghi.^[1] Poate fi definită ca locul geometric al punctului de intersecție a două drepte^⁠(d), fiecare rotindu-se cu o viteză unghiulară uniformă în jurul punctelor lor fixe, separate, astfel încât raportul vitezelor de rotație să fie 1:3 iar dreptele coincid inițial cu dreapta care trece prin cele două puncte.^[2] O generalizare a acestei construcții se numește curbă divizoare a lui Maclaurin. Curba poartă numele lui Colin Maclaurin care a studiat curba în 1742.^[3][4]

Fie două drepte care se rotesc în jurul punctelor ${\displaystyle P=(0,0)}$ și ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ astfel încât, atunci când dreapta care se rotește în jurul punctului său fix ${\displaystyle P}$ formează cu axa Ox unghiul ${\displaystyle \theta }$, iar dreapta care se rotește în jurul punctului său fix ${\displaystyle P_{1}}$ formează cu axa Ox unghiul ${\displaystyle 3\theta }$. Dacă Q este punctul de intersecție al dreptelor, atunci unghiul format de drepte în Q este ${\displaystyle 2\theta }$. Din teorema sinusurilor,

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }}$

rezultă ecuația în coordonate polare, care este (fără ca axele să fie translate sau rotite)

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )}$.

Prin urmare, curba este un membru al familiei de concoide ale lui de Sluze.

În coordonate carteziene ecuația acestei curbe este^[4]

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$.

Dacă originea este mutată în (a, 0), atunci un raționament similar cu cel de mai sus arată că ecuația curbei în coordonate polare devine

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},}$

fiind un exemplu de „melc” cu o buclă.

Din punctul ${\displaystyle (a,0)}$ se trasează o dreaptă care formează cu axa Ox unghiul ${\displaystyle \phi }$. Din origine se trasează o dreaptă prin punctul unde dreapta precedentă intersectează curba. Atunci, prin construcția curbei, unghiul dintre a doua dreaptă și axa Ox este ${\displaystyle \phi /3}$.^[2]

Curba are o intersecție cu axa Ox în ${\displaystyle 3a \over 2}$ și un punct dublu în origine. Dreapta verticală ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ este o asimptotă. Curba intersectează dreapta x = a sau punctul corespunzător trisecțiunii unui unghi drept, în ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$. Ca o cubică nodală, este de genul zero.

Trisectoarea lui Maclaurin poate fi definită cu ajutorul conicelor în trei moduri.

• Este inversa față de cercul unitate al hiperbolei

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2})}$.

• Este cisoida cercului

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

și a dreptei ${\displaystyle x={a \over 2}}$ față de origine.

• Este podara față de origine a parabolei^[3][4]

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)}$.

În plus:

• Inversa față de punctul ${\displaystyle (a,0)}$ este melcul lui Pascal.
• Este legată de foliul lui Descartes printr-o transformare afină^⁠(d).

Portal Matematică

• Materiale media legate de trisectoarea lui Maclaurin la Wikimedia Commons
• en Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI