Dimensiune Hausdorff

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

H δ s ( E ) = inf { ∑ i = 1 ∞ d i a m ( A i ) s } {\displaystyle H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }diam(A_{i})^{s}\right\}}

H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }diam(A_{i})^{s}\right\}

H s ( E ) = lim δ → 0 H δ s ( E ) {\displaystyle H^{s}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{s}(E)}

H^{s}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{s}(E)

dim H ⁡ ( E ) = inf { s , H s ( E ) = 0 } = sup { s , H s ( E ) = ∞ } {\displaystyle \dim _{H}(E)=\inf \left\{s,H^{s}(E)=0\right\}=\sup \left\{s,H^{s}(E)=\infty \right\}}

\dim _{H}(E)=\inf \left\{s,H^{s}(E)=0\right\}=\sup \left\{s,H^{s}(E)=\infty \right\}

Exemplu

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul X = ⊂ R {\displaystyle X=\subset \mathbb {R} } $X=\subset \mathbb {R}$ :

Pentru s > 1 {\displaystyle s>1\,} $s>1\,$

Pentru ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\,}

\varepsilon >0\,

, fie numărul natural N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }}

N_{\varepsilon }

astfel ales încât 1 N ε < ε {\displaystyle {\frac {1}{N_{\varepsilon }}}<\varepsilon }

{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}<\varepsilon

. Cu acoperirea specială A i = {\displaystyle A_{i}={\big }}

A_{i}={\big }

pentru 1 ≤ i ≤ N ϵ , A i = 1 {\displaystyle 1\leq i\leq N_{\epsilon },A_{i}=1}

1\leq i\leq N_{\epsilon },A_{i}=1

pentru i ≥ N ε {\displaystyle i\geq N_{\varepsilon }}

i\geq N_{\varepsilon }

. Urmează H ε s ( X ) ≤ N ε ⋅ ( 1 N ε ) s = ( 1 N ε ) s − 1 < ε s − 1 {\displaystyle H_{\varepsilon }^{s}(X)\leq N_{\varepsilon }\cdot {\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s}={\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s-1}<\varepsilon ^{s-1}}

H_{\varepsilon }^{s}(X)\leq N_{\varepsilon }\cdot {\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s}={\big (}{\frac {1}{N_{\varepsilon }}}{\big )}^{s-1}<\varepsilon ^{s-1}

Pentru s < 1 {\displaystyle s<1\,} $s<1\,$

Deoarece d ( A i ) < ε {\displaystyle d(A_{i})<\varepsilon }

d(A_{i})<\varepsilon

, avem: ∑ d ( A i ) s = ∑ d ( A i ) d ( A i ) 1 − s > ∑ d ( A i ) ε 1 − s {\displaystyle \sum d(A_{i})^{s}=\sum {\frac {d(A_{i})}{d(A_{i})^{1-s}}}>\sum {\frac {d(A_{i})}{\varepsilon ^{1-s}}}}

\sum d(A_{i})^{s}=\sum {\frac {d(A_{i})}{d(A_{i})^{1-s}}}>\sum {\frac {d(A_{i})}{\varepsilon ^{1-s}}}

. Cum însă A i {\displaystyle A_{i}\,}

A_{i}\,

intervalul X {\displaystyle X\,}

X\,

acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1: ≥ 1 ε 1 − s . {\displaystyle \geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}.}

\geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}.

Rezultă: H ε s ( X ) ≥ 1 ε 1 − s {\displaystyle H_{\varepsilon }^{s}(X)\geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}}

H_{\varepsilon }^{s}(X)\geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}

. Deci: H s ( X ) = ∞ {\displaystyle H^{s}(X)=\infty \,}

H^{s}(X)=\infty \,

Pentru s = 1 {\displaystyle s=1\,} $s=1\,$ :

Considerând cele două cazuri anterioare, obținem: H 1 ( X ) = 1 {\displaystyle H^{1}(X)=1\,}

H^{1}(X)=1\,

. Așadar: dim ⁡ X = 1 {\displaystyle \dim X=1\,}

\dim X=1\,

Cazuri concrete

Cercul are dimensiune Hausdorff 1.

Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 {\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}} ${\frac {\ln 2}{\ln 3}}$ .

Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\ln 3}{\ln 2}}} ${\frac {\ln 3}{\ln 2}}$ .

Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei mișcării browniene tinde către 2.

Bibliografie

Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și

Fractal

Legături externe

en Despre dimensiunea Hausdorff

v d m Dimensiuni
Spații dimensionale	Spațiu vectorial Spațiu euclidian Spațiu afin Spațiu proiectiv Modul liber Varietate geometrică Varietate algebrică Spațiu-timp
Alte dimensiuni	Krull Acoperire Lebesgue Inductivă Hausdorff Minkowski Fractală Grad de libertate
Politopuri și forme	Hiperplan Hipersuprafață Hipercub Hiperdreptunghi Ortoplex Semihipercub Hipersferă Simplex
Dimensiuni după număr	Zero Una Două Trei Patru Cinci Șase Șapte Opt Nouă n-dimensiuni Dimensiuni negative
Vezi și	Hiperspațiu
Categorie