Număr perfect

Numărul perfect este un număr întreg egal cu suma divizorilor săi, din care se exclude numărul însuși. Astfel, dacă ${\displaystyle n}$ este numărul întreg, avem definițiile:

${\displaystyle \sigma (n)\;={\begin{cases}\leq 2n,\;numar\;deficient\\=2n\;,numar\;perfect\\\geq 2n\;,numar\ abundent\end{cases}}}$

Aici apare ${\displaystyle \mathbf {2} n}$ pentru că printre divizorii care alcătuiesc suma ${\displaystyle \mathbf {\sigma } (n)}$ s-a considerat și numărul însuși.

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8.128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Primele zece numere perfecte sunt: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216.^[1]

Euclid a observat că primele patru numere perfecte (menționate mai sus) sunt date de formula:

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ,

unde ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ia valorile 2, 3, 5, 7.

Mai mult, Euclid observă că pentru ca

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$

să fie număr perfect trebuie ca

${\displaystyle 2^{n}-1}$

să fie număr prim (acestea sunt de fapt cunoscute ca numerele prime ale lui Mersenne).

Euler a demonstrat că în acest mod pot fi obținute toate numerele perfecte pare.

Existența numerelor perfecte impare constituie una din problemele nerezolvate ale matematicii.

Dacă acestea există, ar trebui să fie foarte mari:

Un astfel de număr ar trebui să satisfacă condițiile^[2]:

• n>10³⁰⁰
• n este de forma

${\displaystyle n\;=\;q^{\alpha }{p_{1}}^{2e_{1}}{p_{2}}^{2e_{2}}\;\cdots \;{p_{k}}^{2e_{k}}}$ .

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Rogai, E - Tabele și formule matematice, Editura Tehnică, București, 1984

• Număr abundent
• Număr deficient
• Divizor
• Indicatorul lui Euler
• Listă de numere#Numere perfecte

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory