Teoria reprezentării

Subiectul Teoria reprezentării este discutat pe scară largă și a generat un mare interes în societatea actuală. De zeci de ani, Teoria reprezentării a fost subiect de dezbatere în rândul experților din diferite discipline, precum și de interes pentru publicul larg. Relevanța sa este de netăgăduit, iar impactul său se extinde în diferite domenii ale societății. De-a lungul anilor, Teoria reprezentării a cunoscut schimbări semnificative care i-au marcat evoluția și influența în lumea contemporană. În acest articol, vom explora diferite aspecte legate de Teoria reprezentării, de la originea și până la impactul său astăzi, cu scopul de a oferi o viziune cuprinzătoare și actualizată a acestui subiect foarte relevant.

Teoria reprezentării este o ramură a matematicii care studiază structurile algebrice abstracte reprezentând elementele acestora sub forma unor transformări liniare de spații vectoriale și studiază modulele⁠(d) peste aceste structuri algebrice abstracte.[1] În esență, o reprezentare face un obiect algebric abstract mai concret prin descrierea elementelor sale prin matrici și prin operații algebrice în termeni de adunări și înmulțiri de matrice. Printre obiectele algebrice care fac obiectul unei astfel de descrieri se numără grupuri, algebre asociative⁠(d) și algebre Lie⁠(d). Cea mai proeminentă dintre ele (și istoric prima) este teoria reprezentării grupurilor, în care elementele unui grup sunt reprezentate prin matrice inversabile astfel încât operația grupului este o înmulțire matriceală.[2]

Teoria reprezentării este o metodă utilă deoarece reduce problemele din algebra abstractă la probleme de algebră liniară, un subiect mai bine înțeles.[3] În plus, spațiul vectorial pe care este reprezentat un grup (de exemplu) poate fi infinit-dimensional și, permițându-i-se să fie, de exemplu, un spațiu Hilbert, metodele de analiză pot fi aplicate teoriei grupurilor.[4] Teoria reprezentării este importantă și în fizică, deoarece, de exemplu, ea descrie modul în care grupul de simetrie al unui sistem fizic afectează soluțiile ecuațiilor care descriu acest sistem.[5]

Teoria reprezentării este larg răspândită în domeniile matematicii, din două motive. În primul rând, aplicațiile teoriei reprezentării sunt diverse: [6] pe lângă impactul său asupra algebrei, teoria reprezentării:

În al doilea rând, există diverse abordări ale teoriei reprezentării. Aceleași obiecte pot fi studiate folosind metode din geometria algebrică, teoria modulelor⁠(d), teoria analitică a numerelor, geometria diferențială, teoria operatorilor⁠(d), combinatorica algebrică⁠(d) și topologie.[10]

Succesul teoriei reprezentării a dus la numeroase generalizări. Unul dintre cele mai generale este în teoria categoriilor.[11] Obiectele algebrice la care se aplică teoria reprezentării pot fi privite ca anumite tipuri de categorii, iar reprezentările ca functori de la categoria obiect la categoria spațiilor vectoriale⁠(d). Această descriere indică două generalizări evidente: în primul rând, obiectele algebrice pot fi înlocuite cu mai multe categorii generale; în al doilea rând, categoria țintă a spațiilor vectoriale poate fi înlocuită de alte categorii bine înțelese.

Note

  1. ^ Texte clasice de teoria reprezentării sunt Curtis & Reiner (1962) și Serre (1977). Alte surse excelente sunt Fulton & Harris (1991) și Goodman & Wallach (1998).
  2. ^ Pentru istoria teoriei reprezentării grupurilor finite, vezi Lam (1998). Pentru grupuri algebrice și Lie, vezi Borel (2001).
  3. ^ Există multe cărți despre spații vectoriale și algebră liniară. Pentru o tratare avansată, vezi Kostrikin & Manin (1997).
  4. ^ Sally & Vogan 1989. .
  5. ^ Sternberg 1994. .
  6. ^ Lam 1998, p. 372. .
  7. ^ Folland 1995. .
  8. ^ Goodman & Wallach 1998. , Olver 1999. , Sharpe 1997. .
  9. ^ Borel & Casselman 1979. , Gelbart 1984. .
  10. ^ Vezi notele de subsol anterioare, precum și Borel (2001).
  11. ^ Simson, Skowronski & Assem 2007. .

Bibliografie

  • Alperin, J. L. (), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups (în engleză), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7 .
  • Bargmann, V. (), „Irreducible unitary representations of the Lorenz group”, Annals of Mathematics (în engleză), 48 (3): 568–640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129 .
  • Borel, Armand (), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups (în engleză), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 .
  • Borel, Armand; Casselman, W. (), Automorphic Forms, Representations, and L-functions (în engleză), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2 .
  • Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7 .
  • Gelbart, Stephen (), „An Elementary Introduction to the Langlands Program”, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 .
  • Folland, Gerald B. (), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5 .
  • Fulton, William; Harris, Joe (). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. .
  • Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
  • Gordon, James; Liebeck, Martin (), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0 .
  • Hall, Brian C. (), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (ed. 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 
  • Helgason, Sigurdur (), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7 
  • Humphreys, James E. (), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .
  • Humphreys, James E. (), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773 
  • Jantzen, Jens Carsten (), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2 .
  • Kac, Victor G. (), „Lie superalgebras”, Advances in Mathematics, 26 (1): 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
  • Kac, Victor G. (), Infinite Dimensional Lie Algebras (ed. 3rd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6 .
  • Knapp, Anthony W. (), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4 .
  • Kim, Shoon Kyung (), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6 .
  • Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7 .
  • Lam, T. Y. (), „Representations of finite groups: a hundred years”, Notices of the AMS, 45 (3,4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II) .
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Traducere în engleză din ediția 1985 în rusă (Harkov, URSS). Birkhäuser Verlag. 1988.
  • Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (în engleză), 34 (ed. 3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602 ; MR0719371 (2nd ed.); MR1304906 (ed. a treia)
  • Olver, Peter J. (), Classical invariant theory (în engleză), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55821-1 .
  • Peter, F.; Weyl, Hermann (), „Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”, Mathematische Annalen (în germană), 97 (1): 737–755, doi:10.1007/BF01447892, arhivat din original la  .
  • Pontrjagin, Lev S. (), „The theory of topological commutative groups”, Annals of Mathematics (în engleză), 35 (2): 361–388, doi:10.2307/1968438, JSTOR 1968438 .
  • Sally, Paul; Vogan, David A. (), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups (în engleză), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7 .
  • Serre, Jean-Pierre (), Linear Representations of Finite Groups (în engleză), Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909 .
  • Sharpe, Richard W. (), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program (în engleză), Springer, ISBN 978-0-387-94732-7 .
  • Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras (în engleză), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7 .
  • Sternberg, Shlomo (), Group Theory and Physics (în engleză), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3 .
  • Tung, Wu-Ki (). Group Theory in Physics (în engleză) (ed. 1st). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577. 
  • Weyl, Hermann (), Gruppentheorie und Quantenmechanik (în engleză) (ed. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1 .
  • Weyl, Hermann (), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (în engleză) (ed. 2nd), Princeton University Press (retipărit în 1997), ISBN 978-0-691-05756-9 .
  • Wigner, Eugene P. (), „On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group”, Annals of Mathematics (în engleză), 40 (1): 149–204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551 .
Portal icon Portal Matematică