Hexacontaedru romboidal

În lumea de astăzi, Hexacontaedru romboidal este un subiect care capătă din ce în ce mai multă relevanță și interes. De ceva vreme, Hexacontaedru romboidal este subiect de dezbatere și studiu în diferite domenii, iar impactul său asupra societății, economiei, sănătății, printre altele, a stârnit curiozitatea și interesul multor persoane. În acest articol, vom explora Hexacontaedru romboidal în profunzime, analizându-i istoria, evoluția și importanța sa astăzi. În plus, vom examina diferite perspective și opinii cu privire la Hexacontaedru romboidal, cu scopul de a oferi o viziune cuprinzătoare și îmbogățitoare asupra acestei chestiuni.

Hexacontaedru romboidal
(animație și model 3D)
Descriere
TipPoliedru Catalan
Fețe60
Laturi (muchii)120
Vârfuri62 (12 + 20 + 30)
χ2
Configurația fețeiV3.4.5.4 (romboizi)
Simbol ConwayoD sau deD
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieIh, H3, , *532
Grup de rotațieI, +, (532)
Unghi diedru154° 7′ 17′′ = arccos(-19-8√5/41)
Poliedru dualRombicosidodecaedru
ProprietățiPoliedru convex, tranzitiv pe fețe
Desfășurată
Dual: Rombicosidodecaedru

În geometrie un hexacontaedru romboidal este un poliedru Catalan cu 60 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul hexacontaedrului romboidal este rombicosidodecaedrul. Este tranzitiv pe fețe.

Este unul dintre cele șase poliedre Catalan care nu au un drum hamiltonian prin vârfurile sale.[1]

Din punct de vedere topologic este identic cu hexacontaedrul rombic neconvex.

Lungimi și unghiuri

Cele 60 de fețe sunt romboizi. Raportul dintre laturile scurte și lungi ale fiecărui romboid este 1:7 + √5/6 ≈ 1:1,539344663...

Unghiul dintre cele două laturi scurte ale unei fețe este arccos(-5-2√5/20) ≈ 118,2686774705°. Unghiul opus, între laturile lungi, este arccos(-5+9√5/40) ≈ 67,783011547435°. Celelalte două unghiuri (între o latură scurtă și una lungă) sunt ambele de arccos(5-2√5/10) ≈ 86,97415549104°.

Unghiul diedru dintre oricare pereche de fețe adiacente este arccos(-19-8√5/41) ≈ 154,12136312578°.

Topologie

Din punct de vedere topologic hexacontaedrul romboidal este identic cu hexacontaedrul rombic neconvex. Hexacontaedrul romboidal poate fi obținut dintr-un dodecaedru (sau icosaedru) prin deplasarea centrelor fețelor, a centrelor laturilor și a vârfurilor la raze diferite față de centrul poliedrului. Razele sunt alese astfel încât forma rezultată să aibă fețe plane romboidale astfel încât vârfurile să se deplaseze la colțurile de gradul 3, fețele la colțurile de gradul cinci, iar centrele laturilor la punctele de gradul patru (aici, prin grad se înțelege numărul de fețe care se întâlnesc în acel vârf).

Proiecții ortogonale

Hexacontaedrul romboidal are trei proiecții ortogonale particulare, toate centrate pe vârfuri.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă
Simetrie
proiectivă
Imagini
Imagini
duale

Poliedre și pavări înrudite

Hexacontaedru romboidal sferic
Familia de poliedre icosaedrice uniforme
Simetrie: , (*532) +, (532)
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duale ale poliedrelor uniforme
Fișier:PentakisDodecahedron.svg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Atunci când sunt proiectate pe o sferă (v. la dreapta), se poate observa că laturile formează laturile unui icosaedru și dodecaedru dispuse în pozițiile lor duale.

Din punct de vedere topologic acest poliedru face parte din secvența de poliedre romboidale cu figura feței (V3.4.n.4) și continuă cu pavări ale planului hiperbolic. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetria de reflexie (*n32) în notația orbifold.

Variante de pavări expandate duale cu simetrie *n32: V3.4.n.4
Simetrie
*n32
 Sferice Euclid. Hiperb. compacte Paracomp.
*232
 *332
 *432
 *532
 *632
 *732
 *832
... 		*∞32
Config.
feței
V3.4.2.4
V3.4.3.4
V3.4.4.4
V3.4.5.4
V3.4.6.4
V3.4.7.4
V3.4.8.4
V3.4.∞.4

Note

  1. ^ en „Archimedean Dual Graph”. 

Bibliografie

Legături externe

Portal icon Portal Matematică